自协方差函数

$\gamma (h)$ 把一条无限协方差矩阵压缩成按对角线编号的一列数。正值表示相隔 $h$ 期的偏差倾向同向，负值表示倾向反向，接近零只说明线性二阶关联弱。量纲是原变量单位的平方，所以不同量纲或不同方差的序列不能直接比较自协方差大小；这种比较应转向归一化的相关系数。

自协方差并非“看一眼曲线后计算相似度”。期望是对过程重复实现取平均，单条观测只给估计。大滞后可用乘积项变少，估计噪声自然增大；与此同时，不同滞后的估计值彼此相关。把每个 $\hat{\gamma }(h)$ 当独立、同精度的数字会低估不确定性。函数衰减快慢描述冲击在线性预测中的记忆，但慢衰减可能来自长记忆、单位根或未去趋势，三者需要模型条件区分。

令 ${\epsilon }_t$ 为均值 $0$、方差 $4$、跨期不相关的白噪声，并取

则 $\mathbb{E}{X}_t=0$，展开乘积可复算

而 $|h|\ge 2$ 时两式没有共同创新，故 $\gamma (h)=0$。例如 $(X_t,X_{t+1})$ 的协方差矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$，特征值 $7,3$ 均非负；这直接检查了候选数值的可实现性。若随手声称 $\gamma (0)=1,\gamma (1)=2$，二维矩阵行列式 $1-4<0$，它不可能是任何过程的自协方差。

即使每一对都满足 $|\gamma (h)|\le \gamma (0)$，三个时点也可能互相冲突。取候选 $\gamma (0)=1,\gamma (1)=0.9,\gamma (2)=-0.9$，则线性组合 $X_0-2X_1+X_2$ 的候选方差为

方差不能为负，所以它不可能来自任何弱平稳过程。检查几个滞后的数值范围只是必要条件，联合半正定性才排除了这种矛盾。

边界上，$\gamma (h)=0$ 不推出独立，除非再有联合高斯等条件。确定性常数过程的 $\gamma$ 恒为零，却不是随机噪声；方差无穷的稳定分布过程则根本没有传统自协方差。对非平稳过程，应写两参数协方差 $C(s,t)$；强行把不同 $t$ 的值按相同滞后平均，会把随时间改变的方差误装成一个函数。

当 $\gamma (0)>0$ 时，除以它得到自相关函数公理库自相关函数Autocorrelation function · ACF将自协方差按零滞后方差归一化后得到的无量纲滞后依赖函数。 $\rho (h)$，保留形状并消去尺度。自协方差还直接给有限过去的最佳线性预测：预测系数满足包含 $\gamma (0),\dots ,\gamma (p)$ 的 Toeplitz 正规方程；协方差矩阵奇异时系数未必唯一，但对应的投影随机变量仍唯一。

上面的 MA(1) 例子若只用 $X_t$ 预测 $X_{t+1}$，最小化 $E(X_{t+1}-b{X}_t{)}^2=5-4b+5b^2$，得到 $b=2/5$，预测误差方差为 $5-4/5=4.2$。这是只用一个过去值的最佳线性预测，不能冒充使用全部历史的最优预测。

对自回归模型，这些关系化为Yule–Walker 方程公理库Yule–Walker 方程Yule–Walker equations · Yule-Walker equations将平稳自回归系数与自协方差联系起来的 Toeplitz 线性方程组。；对一般纯非确定弱平稳过程，Wold 分解公理库Wold 分解定理Wold decomposition theorem · Wold representation theorem将弱平稳过程唯一拆为由创新驱动的单边线性部分与可由无限过去预测的确定部分。说明同一 $\gamma$ 可由白噪声的线性滤波表示。

若 $\sum _h|\gamma (h)|<\mathrm{\infty }$，谱密度

连续且非负，反演积分恢复 $\gamma (h)$。这把时域的滞后记忆转成频域的功率分配。样本设计中，均值 ${\overline{X}}_n$ 的方差为 $n^{-2}\sum _{s,t}\gamma (s-t)$；正相关会降低有效信息量，负相关可能提高它。因此“有 $n$ 个时点”并不等于拥有 $n$ 个独立样本。