弱平稳过程

弱平稳把时间原点从模型里拿掉：今天与明天可以相关，但只要“相隔几期”相同，相关方式就相同。它允许轨迹持续起伏，也允许短期冲击延续若干期；排除的是随日历时间漂移的均值、逐渐膨胀的方差，以及同一滞后在早期和晚期表现不同的协方差。因此一条序列画起来并不需要平坦，平稳描述的是重复抽取整条轨迹时的概率规律，而不是单条样本没有趋势。

二阶条件之所以常用，是因为均值、线性预测误差与谱分析只依赖到二阶矩。把无限长序列的协方差矩阵想成沿对角线不变的 Toeplitz 阵：主对角线都是 $\gamma (0)$，第一条副对角线都是 $\gamma (1)$。这种重复结构让有限个滞后参数可以描述任意时点的线性关系。代价是它看不到尾部形状和高阶依赖；两个过程可有同一 $\mu ,\gamma$，却有完全不同的极端事件聚集。

令各 $X_t$ 相互独立；偶数时刻取 $P(X_t=1)=P(X_t=-1)=1/2$，奇数时刻取标准正态。所有时刻均值为 $0$、方差为 $1$，不同时间协方差为 $0$，故

这个过程弱平稳。但 $X_0$ 只有两个可能值，$X_1$ 有连续分布，边缘分布随平移改变，所以它不严格平稳。这是“二阶结构相同”不足以控制分布形状的可复核反例。反向边界也具体存在：独立同分布的标准 Cauchy 变量构成严格平稳过程，但 $\mathbb{E}{X}_t^2$ 不存在，因而不满足弱平稳的定义域要求。

随机游走 $X_t=X_{t-1}+{\epsilon }_t$、$X_0=0$，若创新方差为 ${\sigma }^2>0$，则 $\mathrm{Var}(X_t)=t{\sigma }^2$。它是典型单位根过程公理库单位根过程Unit-root process · Unit root process · Difference-stationary process自回归多项式含单位圆根、冲击对水平具有永久影响而经适当差分可平稳的过程。，非退化 I(1) 情形与弱平稳形成本文 metadata 中的精确对照；差分 $\mathrm{\Delta }{X}_t={\epsilon }_t$ 可以平稳，却不能据此把水平序列称为平稳。若自回归系数为 $0.99$ 而非 $1$，理论方差为 ${\sigma }^2/(1-{0.99}^2)$，很大但仍有限；近单位根在短样本里像随机游走，不等于真的含单位根。

弱平稳使自协方差函数公理库自协方差函数Autocovariance function · ACVF以滞后为自变量记录弱平稳过程两个时点之间协方差的函数。可以只以滞后 $h$ 为自变量，归一化后得到自相关函数公理库自相关函数Autocorrelation function · ACF将自协方差按零滞后方差归一化后得到的无量纲滞后依赖函数。。所有有限线性组合的方差非负，强迫 $\gamma$ 非负定，即相应协方差矩阵半正定；这不只是漂亮性质，也是判断一串候选协方差能否来自真实过程的约束。若 $\sum _h|\gamma (h)|<\mathrm{\infty }$，长期均值方差可由协方差和控制，并可定义连续谱密度。

建模时通常先去除可解释趋势、季节均值或方差变化，再对剩余项讨论弱平稳。样本均值与样本自相关是否可靠还需要遍历性或混合条件；平稳本身只保证不随时间换规则，不保证一条路径的时间平均等于总体期望。结构突变、随机波动率与确定性趋势都可能破坏简单二阶平稳假设，应分别检查，而不能只凭一张看似无趋势的图下结论。