弱平稳过程

弱平稳把时间原点从模型里拿掉：今天与明天可以相关，但只要“相隔几期”相同，相关方式就相同。它允许轨迹持续起伏，也允许短期冲击延续若干期；排除的是随日历时间漂移的均值、逐渐膨胀的方差，以及同一滞后在早期和晚期表现不同的协方差。因此一条序列画起来并不需要平坦，平稳描述的是重复抽取整条轨迹时的概率规律，而不是单条样本没有趋势。

二阶条件之所以常用，是因为均值、线性预测误差与谱分析只依赖到二阶矩。把无限长序列的协方差矩阵想成沿对角线不变的 Toeplitz 阵：主对角线都是 $\gamma (0)$，第一条副对角线都是 $\gamma (1)$。这种重复结构让有限个滞后参数可以描述任意时点的线性关系。代价是它看不到尾部形状和高阶依赖；两个过程可有同一 $\mu ,\gamma$，却有完全不同的极端事件聚集。

令各 $X_t$ 相互独立；偶数时刻取 $P(X_t=1)=P(X_t=-1)=1/2$，奇数时刻取标准正态。所有时刻均值为 $0$、方差为 $1$，不同时间协方差为 $0$，故

这个过程弱平稳。但 $X_0$ 只有两个可能值，$X_1$ 有连续分布，边缘分布随平移改变，所以它不严格平稳。这是“二阶结构相同”不足以控制分布形状的可复核反例。反向边界也具体存在：独立同分布的标准 Cauchy 变量构成严格平稳过程，但 $\mathbb{E}{X}_t^2$ 不存在，因而不满足弱平稳的定义域要求。

随机游走 $X_t=X_{t-1}+{\epsilon }_t$、$X_0=0$，若创新方差为 ${\sigma }^2>0$，则 $\mathrm{Var}(X_t)=t{\sigma }^2$。它是典型单位根过程理路单位根过程Unit-root process · Unit root process自回归多项式含单位圆根、冲击对水平具有永久影响而经适当差分可平稳的过程。，非退化 I(1) 情形与弱平稳形成对照；差分 $\mathrm{\Delta }{X}_t={\epsilon }_t$ 可以平稳，却不能据此把水平序列称为平稳。若自回归系数为 $0.99$ 而非 $1$，且采用从无限过去构造的平稳解，理论方差为 ${\sigma }^2/(1-{0.99}^2)$，很大但仍有限；近单位根在短样本里像随机游走，不等于真的含单位根。

另一个容易混淆的条件是遍历性。令 $X_t=Z$ 对所有时刻成立，其中 $P(Z=1)=P(Z=-1)=1/2$。这个过程甚至严格平稳，且 $\mu =0,\gamma (h)=1$ 对所有 $h$ 成立；但任意长度的时间平均 ${\overline{X}}_n=Z$，始终不会收敛到总体均值 0。多看同一条轨迹只是反复看到同一个随机值，不能代替独立重复实验。

弱平稳使自协方差函数理路自协方差函数Autocovariance function · ACVF以滞后为自变量记录弱平稳过程两个时点之间协方差的函数。可以只以滞后 $h$ 为自变量，归一化后得到自相关函数理路自相关函数Autocorrelation function · ACF将自协方差按零滞后方差归一化后得到的无量纲滞后依赖函数。。所有有限线性组合的方差非负，强迫 $\gamma$ 非负定，即相应协方差矩阵半正定；这不只是漂亮性质，也是判断一串候选协方差能否来自真实过程的约束。若 $\sum _h|\gamma (h)|<\mathrm{\infty }$，长期均值方差可由协方差和控制，并可定义连续谱密度。

上例还解释了协方差求和条件的作用。平稳过程满足

若协方差绝对可和，右端为 $O(1/n)$，时间均值至少在均方意义下趋于 $\mu$；若 $\gamma (h)=1$，右端恰为 1。这里得到的是均值的一致性，仍不能仅凭协方差可和就宣布所有非线性统计量都遍历或都满足中心极限定理。

建模时通常先去除可解释趋势、季节均值或方差变化，再对剩余项讨论弱平稳。样本均值与样本自相关是否可靠还需要遍历性或混合条件；平稳本身只保证不随时间换规则，不保证一条路径的时间平均等于总体期望。结构突变、随机波动率与确定性趋势都可能破坏简单二阶平稳假设，应分别检查，而不能只凭一张看似无趋势的图下结论。