自相关函数

自相关把“共同变化多少”换成“相对于序列自身波动有多大”。$\rho (1)=0.8$ 表示相邻时点具有强正线性关联，却不表示下一期有 80% 概率等于本期，也不表示 80% 的方差被单一滞后解释。符号给同向或反向倾向，绝对值给线性强度；非线性依赖和条件异方差可能在所有非零滞后 ACF 都近零时仍然很强。

ACF 的形状常比单个数更有信息。有限阶移动平均的总体 ACF 在某个滞后后精确截尾；因果自回归的 ACF 通常以指数或阻尼振荡方式拖尾；单位根水平序列的样本 ACF 则常在许多滞后缓慢下降。但这些是模型蕴含的诊断图样，不是仅凭一张相关图就能唯一识别模型的定理。季节峰也可能来自确定性季节均值未去除，而非随机季节动力学。

沿用 $X_t={\epsilon }_t+\frac{1}{2}{\epsilon }_{t-1}$ 且 $\mathrm{Var}({\epsilon }_t)=4$ 的可复算模型，其自协方差为 $\gamma (0)=5$、$\gamma (1)=2$、$\gamma (h)=0$（$|h|\ge 2$），所以

创新方差若从 $4$ 改成 $9$，$\gamma (0)$ 与 $\gamma (1)$ 同乘 $9/4$，ACF 仍完全相同，展示其无量纲性。三时点相关矩阵为

其顺序主子式为 $1,0.84,0.68$，均为正，故这段候选 ACF 与半正定约束相容。

零 ACF 不能推出独立。若 $Z_t$ 独立标准正态并令 $X_t=Z_t{Z}_{t-1}$，则对 $h\ne 0$ 有 $\mathbb{E}(X_t{X}_{t-h})=0$，总体 ACF 与白噪声相同；但 $X_t^2$ 与 $X_{t-1}^2$ 共享 $Z_{t-1}^2$，且 $\mathbb{E}(X_t^2{X}_{t-1}^2)=3\ne 1=\mathbb{E}{X}_t^2\mathbb{E}{X}_{t-1}^2$，所以相邻变量依赖。另一个边界是趋势：$x_t=t+e_t$ 的高样本 ACF 主要反映共同趋势，不能解释为平稳随机记忆。

ACF 是线性预测、模型识别和残差诊断的共同接口。与偏自相关函数公理库偏自相关函数Partial autocorrelation function · PACF在剔除中间滞后最佳线性解释后衡量两个相隔时点剩余相关的函数。配合时，AR($p$) 的 PACF 在 $p$ 阶后截尾，而 MA($q$) 的 ACF 在 $q$ 阶后截尾；有限样本只会近似呈现这一差别。对拟合后的残差，Ljung–Box 一类端口检验把多个样本自相关合并，但自由度应扣除已估参数，拒绝只说明仍有线性依赖，不自动指出应增加哪一阶。

对平稳 AR(1) $X_t=\varphi X_{t-1}+{\epsilon }_t$，$|\varphi |<1$ 时 $\rho (h)={\varphi }^{|h|}$。于是 $\varphi =0.8$ 的一阶相关为 $0.8$、五阶为 ${0.8}^5=0.32768$；$\varphi =-0.8$ 则奇数滞后为负、偶数为正。靠近 $1$ 的指数衰减很慢，却仍不同于单位根。做置信区间与模型比较时应把参数估计误差、数据选择和多重滞后检查纳入，而不是把越过单条参考线当成确定结构。