偏自相关函数

普通 $\rho (2)$ 同时包含 $X_{t-2}$ 对 $X_t$ 的直接线性联系，以及经 $X_{t-1}$ 逐步传递的联系。PACF 先让中间滞后从两端各自解释能解释的部分，再比较剩余。因而对非退化、因果且为最小阶的 AR($p$)，超过 $p$ 的旧值对下一期没有新增线性预测信息，总体 PACF 在 $p$ 阶后截尾；普通 ACF 仍会因为反馈链条继续拖尾。

“偏”并不等于因果调整。投影只使用列出的滞后、只消除线性关系，也没有处理潜在共同原因。对联合高斯向量，零偏相关与相应精度矩阵元素为零可对应条件独立；离开高斯族，零偏相关只是一条二阶正交陈述。把 PACF 柱状图解释为某个滞后具有直接因果效应，超出了定义。

考虑 AR(2)

AR 多项式 $1-z/2-z^2/5$ 的两根约为 $1.312$ 与 $-3.812$，所以存在因果平稳解。把方程分别乘 $X_{t-1}$、$X_{t-2}$ 后取期望，得到 $\rho (1)=1/2+(1/5)\rho (1)$ 与 $\rho (2)=(1/2)\rho (1)+1/5$，故 $\rho (1)=5/8$、$\rho (2)=41/80$。因此一阶偏自相关是 $5/8$；二阶用两变量偏相关公式可复算

它恰好恢复第二个 AR 系数。对 $h>2$，加入 $X_{t-h}$ 不再改善给定最近两期后的最佳线性预测，故总体 $\alpha (h)=0$。这说明截尾位置是 $2$，不是说原序列在相隔三期后不相关。

有限样本的 $\hat{\alpha }(h)$ 几乎不会精确为零。对独立同分布白噪声常画 $\pm 1.96/\sqrt{n}$ 渐近参考带，但本文允许的仅不相关白噪声不自动满足该校准，逐步估计、同时检查许多滞后和先行选模也都会改变解释。若 $X_t=X_{t-1}$ 几乎处处，则相关矩阵全为 $1$、投影残差方差为零，PACF 在高阶没有定义；软件通过微小正则化给出的数字是算法约定，不是原过程的总体偏自相关。

为什么最后一个回归系数等于残差相关？先从两端去掉中间滞后，最远滞后的系数就是 $\mathrm{Cov}(e_t^{(h)},e_{t-h}^{(h)})/\mathrm{Var}(e_{t-h}^{(h)})$。弱平稳性使两端残差方差相同，因此分母也等于两残差标准差之积，恰得到相关系数。这个等式依赖时间序列的对称协方差结构，一般多元回归的系数并不等于偏相关。

Durbin–Levinson 递推从 $\rho (1),\dots ,\rho (h)$ 逐阶得到 $\alpha (h)$ 与预测误差方差，利用 Toeplitz 结构高效更新。若 $v_h$ 是用最近 $h$ 期预测的误差方差，则

上例 $v_1/\gamma (0)=1-(5/8{)}^2=39/64$，$v_2/\gamma (0)=(39/64)(24/25)=117/200$；之后 PACF 为零，继续增加滞后不再降低总体线性预测误差。正定自相关序列对应 $|\alpha (h)|<1$；反过来，一列位于 $(-1,1)$ 的反射系数可逐阶参数化正定协方差，这在约束平稳 AR 参数和数值优化中很有用。

识别模型时，AR($p$)公理库自回归过程Autoregressive process · AR process当前值由有限个过去值的线性组合与当期白噪声创新构成的时间序列模型。 的 PACF 截尾与MA($q$)公理库移动平均过程Moving-average process · MA process当前值由有限个当期与过去白噪声驱动项线性组合构成的时间序列模型。 的 ACF 截尾应作为总体基准，再结合信息准则、留出预测和残差诊断。近单位根会使样本 PACF、尤其第一阶接近 $1$，但不能仅凭该图判定单位根；结构突变也可造成类似持久性。PACF 适合提出阶数候选，不替代根检验和完整模型比较。