偏自相关函数

普通 $\rho (2)$ 同时包含 $X_{t-2}$ 对 $X_t$ 的直接线性联系，以及经 $X_{t-1}$ 逐步传递的联系。PACF 先让中间滞后从两端各自解释能解释的部分，再比较剩余。因而对非退化、因果且为最小阶的 AR($p$)，超过 $p$ 的旧值对下一期没有新增线性预测信息，总体 PACF 在 $p$ 阶后截尾；普通 ACF 仍会因为反馈链条继续拖尾。

“偏”并不等于因果调整。投影只使用列出的滞后、只消除线性关系，也没有处理潜在共同原因。对联合高斯向量，零偏相关与相应精度矩阵元素为零可对应条件独立；离开高斯族，零偏相关只是一条二阶正交陈述。把 PACF 柱状图解释为某个滞后具有直接因果效应，超出了定义。

考虑 AR(2)

其 Yule–Walker 关系给 $\rho (1)=5/8$、$\rho (2)=41/80$。因此一阶偏自相关是 $5/8$；二阶用两变量偏相关公式可复算

它恰好恢复第二个 AR 系数。对 $h>2$，加入 $X_{t-h}$ 不再改善给定最近两期后的最佳线性预测，故总体 $\alpha (h)=0$。这说明截尾位置是 $2$，不是说原序列在相隔三期后不相关。

有限样本的 $\hat{\alpha }(h)$ 几乎不会精确为零。对独立同分布白噪声常画 $\pm 1.96/\sqrt{n}$ 渐近参考带，但本文允许的仅不相关白噪声不自动满足该校准，逐步估计、同时检查许多滞后和先行选模也都会改变解释。若 $X_t=X_{t-1}$ 几乎处处，则相关矩阵全为 $1$、投影残差方差为零，PACF 在高阶没有定义；软件通过微小正则化给出的数字是算法约定，不是原过程的总体偏自相关。

Durbin–Levinson 递推从 $\rho (1),\dots ,\rho (h)$ 逐阶得到 $\alpha (h)$ 与预测误差方差，利用 Toeplitz 结构把重复线性方程高效更新。正定自相关序列对应 $|\alpha (h)|<1$；反过来，一列位于 $(-1,1)$ 的反射系数可逐阶参数化正定协方差，这在约束平稳 AR 参数和数值优化中很有用。

识别模型时，AR($p$) 的 PACF 截尾与 MA($q$) 的 ACF 截尾应作为总体基准，再结合信息准则、留出预测和残差诊断。近单位根会使样本 PACF、尤其第一阶接近 $1$，但不能仅凭该图判定单位根；结构突变也可造成类似持久性。PACF 适合提出阶数候选，不替代根检验和完整模型比较。