移动平均过程

MA 模型让每次冲击只留下有限长度的脚印。${\epsilon }_t$ 同时进入 $X_t,X_{t+1},\dots ,X_{t+q}$，因此相距超过 $q$ 期的两个观测不共享创新，在二阶意义下不相关。名称里的“移动平均”指随机冲击的加权滑窗，不是对一条已观测序列做平滑的滚动平均；后者是数据处理操作，前者是概率生成模型。

同一个协方差结构可能对应多个冲击参数。可逆性选择其中创新可由当前与过去观测恢复的规范表示，让“本期新信息”具有可操作含义。根越靠近单位圆，逆滤波系数衰减越慢，有限样本估计越不稳定；恰在单位圆上时通常的绝对可和逆滤波条件失效；这不排除采用其他极限方式恢复噪声。把可逆误称为平稳，会错过“所有有限阶 MA 都平稳，但并非都可逆”的核心区别。

设 $X_t={\epsilon }_t+2{\epsilon }_{t-1}$，$\mathrm{Var}({\epsilon }_t)=1$。直接展开得

$\theta (z)=1+2z$ 的根为 $-1/2$，在单位圆内，故模型不可逆。现在取 $Y_t={\eta }_t+\frac{1}{2}{\eta }_{t-1}$ 且 $\mathrm{Var}({\eta }_t)=4$，则

若噪声为高斯白噪声，两输出都是高斯过程理路高斯过程Gaussian process · Gaussian random process任意有限组坐标都服从联合高斯分布、因而由均值函数与半正定协方差核确定其有限维分布的随机过程。，相同均值与协方差使其全部有限维分布相同；仅凭观测不能在两种参数化间识别。第二个多项式根为 $-2$，位于单位圆外，因此可逆规范选择 $\theta =1/2$ 并相应调整创新方差。

这种根反射可由标量谱因子定理理路Fejér–Riesz 的标量谱因子分解Fejér–Riesz factorization · Scalar polynomial spectral factorization · 非负三角多项式的模平方分解将整个单位圆上非负的标量Laurent多项式分解为普通多项式的模平方，证明根选择、边界偶重与规范唯一性，并区分有限矩阵检查和真正的全圆周正性。完整组织。实系数非零非负有限谱 $Q$ 可写成 $|p{|}^2$；规范选择把全部非边界根放到单位圆外，再把 $p(0{)}^2$ 作为驱动方差并将因子常数项归一为一。若谱在某个频率为零，因子必须保留相应边界根，所以存在有限MA表示不等于存在绝对可和的因果逆；不能把严格正谱的可逆结论套给边界情形。

边界 $\theta =1$ 的 MA(1) 根为 $-1$。它仍有有限方差 $2{\sigma }^2$、一阶自相关 $1/2$，所以仍平稳；但形式逆式 $(1+B{)}^{-1}=1-B+B^2-\cdots$ 的系数不衰减，历史测量误差会永久传播。另一个边界是非高斯白噪声：超过 $q$ 阶的 ACF 截尾仍成立，但 $|h|>q$ 只保证不相关；若创新跨期依赖但不相关，观测也可能保留高阶依赖。

总体 ACF 在 $q$ 阶后截尾，为 MA 阶数提供初步诊断；样本 ACF 因估计误差不会精确为零，而且多个候选阶数应通过似然、预测验证和残差检查比较。可逆 MA($q$) 具有无限阶 AR 表示，说明“有限冲击记忆”与“可由无限观测过去恢复冲击”是同一模型的两个方向，而不是两种相斥模型。

测量误差、一次性干预的有限传播和聚合过程常自然产生 MA 结构。在可逆表示下，令 ${\mathcal{H}}_t$ 为当前及过去观测的闭线性空间。对 $h\ge 1$，最佳线性预测及其误差方差分别为

当 $h>q$ 时第一式的和为空，线性预测回到 $\mu$，误差方差达到总体方差。仅不相关的白噪声不足以把这一结论升级成条件均值；若噪声独立，或未来噪声对其过去满足零条件均值，才有相应条件期望结论。上面的可逆 MA(1) 在一步时预测 $\frac{1}{2}{\eta }_t$、误差方差 $4$，两步及以后预测为零、误差方差 $5$。若模型不可逆，算法根据过去观测计算的残差不等于生成式中的原始 ${\epsilon }_t$；这会破坏创新解释与参数唯一性，即便一步样本拟合看似正常。