Rao–Blackwell 定理

对固定参数 $\theta$ 和任意统计量 $T$，条件期望作为 $L^2(P_{\theta })$ 中投影，都会减少相对于常数目标的平方误差，并由塔式性质保持期望：

关键障碍在“能否用同一函数服务所有参数”。若 $T$ 不充分，$E_{\theta }[U\mid T=t]$ 的函数形式可能随未知 $\theta$ 改变，只能得到一族 oracle 投影。共同条件核把这些参数点上的投影粘合成单个可实施规则，这正是充分性在定理中的职责。

设生产线上独立抽检的缺陷指示 $X_i\sim \mathrm{Bernoulli}(p)$，目标是缺陷率 $p$。只看第一件产品的 $U=X_1$ 无偏但浪费了其余抽检；充分统计量为 $S=\sum _i{X}_i$。给定 $S=s$，缺陷位置在 $n$ 个坐标中均匀，因此

原规则的方差为 $p(1-p)$，条件化后为

两者期望相同，后者方差缩为前者的 $1/n$。计算过程也很具体：固定总缺陷数后，第一位置的不确定性被平均成 $s/n$，从只用一件产品自然恢复出全样本比例。

若 $U$ 已经等于 $S/n$，再次条件化保持不变，风险等号成立。条件期望因此具有投影的幂等性：落在 $\sigma (T)$-可测函数空间中的规则不会被重复改写。

边界与失败情形 ​

定理比较的是 $U^{\ast }$ 与起点 $U$，没有直接遍历所有估计量。得到唯一 UMVU 还要把 $T$ 的完备性和无偏比较类接进来；在允许偏差的 MSE 类中也可能存在另一条更优收缩规则。

损失非凸时 Jensen 的方向不再提供保证。$0$–$1$ 决策下，条件均值甚至可能不在离散行动空间中；合适做法是给定 $T=t$ 后直接最小化条件风险，而不是机械输出均值。

条件期望需要一阶可积，平方风险分解还要二阶可积。重尾规则若方差无穷，凸损失版本可能仍对截断损失有意义，却不能把无穷方差形式写成有限的改进量。

充分统计量可能与完整样本同维，也可能计算昂贵。定理只比较统计风险，不承诺存储或算法成本下降。

全方差公式理路全期望公式与全方差公式Law of total expectation · Law of total variance · Iterated expectation借助条件信息分解总体均值，并把总波动拆成组内与组间两部分。从另一角度核对平方损失下降：

若 $U$ 有偏，条件化仍保持同一均值函数，因此偏差不变、方差减少；MSE 改善来自消除条件随机性，并非偏差—方差交换。

向量行动可在凸空间中使用条件 Jensen；若行动集合非凸或另带硬约束，条件均值可能不可行。此时应寻找基于 $T$ 的条件风险最小行动，逐坐标平均不再是通用答案。

Rao–Blackwell 化可以沿更细到更粗的充分 $\sigma$-代数迭代；若再条件到一个不充分的粗函数，共同参数无关版本可能消失。最小充分统计量理路最小充分统计量Minimal sufficient statistic能由任何其他充分统计量可测地恢复的充分统计量，代表样本中的最粗充分划分。给出自然的最粗充分终点；若它还完备，Lehmann–Scheffé 定理理路Lehmann–Scheffé 定理Lehmann–Scheffé theorem完备充分统计量上的二阶可积无偏函数，在全参数空间同时成为唯一最小方差无偏估计。把“不劣于起点”提升为唯一 UMVU。

Monte Carlo 中也常对已知条件结构取期望以降方差。那里通常在一个固定模拟分布下工作，不需要跨未知参数粘合共同版本；数学投影相同，统计充分性的角色却不同。

更一般地，条件化保留整条期望函数 $\theta \mapsto E_{\theta }U$。因此它不仅改进无偏估计，也能在保持原偏差曲线的同时降低凸风险；应用前仍须确认共同条件核、可积性和行动空间三项接口。