粒子滤波器 | Codeboy's Blog

形式陈述

设隐藏状态空间模型为

X_0\sim\mu(dx_0),\qquad X_t\mid X_{t-1}=x_{t-1}\sim f_t(dx_t\mid x_{t-1}),

Y_t\mid X_t=x_t\sim g_t(dy_t\mid x_t),

且给定状态后观测条件独立。目标是观测 $y_{0:t}$ 后的过滤分布 $p(dx_t\mid y_{0:t})$ ，或保留路径时的 $p(dx_{0:t}\mid y_{0:t})$ 。粒子滤波是序贯 Monte Carlo在这列随时间增长目标上的严格特例。

设第 $t-1$ 步有粒子与归一化权重 $(x_{t-1}^i,\widetilde w_{t-1}^i)$ 。可先按权重抽祖先 $A_i$ ，再从依赖当前观测的提议

x_t^i\sim r_t(\,\cdot\mid x_{t-1}^{A_i},y_t)

传播。下列比值使用相应共同支配测度下的密度。记增量权重为

\alpha_t^i= \frac{g_t(y_t\mid x_t^i) f_t(x_t^i\mid x_{t-1}^{A_i})} {r_t(x_t^i\mid x_{t-1}^{A_i},y_t)}.

若已重采样，取 $w_t^i=\alpha_t^i$ ；若跳过，则令 $A_i=i$ 并取 $w_t^i=\widetilde w_{t-1}^i\alpha_t^i$ 。在权重总和为正时再归一化。bootstrap filter 取 $r_t=f_t$ ，故增量权重简化为观测似然 $g_t(y_t\mid x_t^i)$ 。每步以 $\sum_i\widetilde w_t^ih(x_t^i)$ 估计过滤期望，并可按权重 ESS决定下一次是否重采样。

支持条件要求初始提议覆盖先验—初始似然乘积的支持，各步提议覆盖转移—似然乘积有正质量的状态。固定 $t$ 时，在常规有界性或矩与混合条件下，粒子经验分布随 $N\to\infty$ 一致并满足粒子系统中心极限定理；有限 $N$ 的归一化过滤期望一般有偏。边缘观测似然的估计还须保留每步归一化常数。初始化时独立抽取 $x_0^i\sim r_0$ ，令

w_0^i=\frac{\mu(x_0^i)g_0(y_0\mid x_0^i)}{r_0(x_0^i)}, \qquad \widehat Z_0=\frac1N\sum_iw_0^i,

并在总和为正时归一化。对 $t\ge1$ ，按本步是否在传播前重采样，定义

\widehat\ell_t= \begin{cases} N^{-1}\sum_i\alpha_t^i,&\text{已重采样},\\ \sum_i\widetilde w_{t-1}^i\alpha_t^i,&\text{未重采样}, \end{cases} \qquad \widehat Z_t=\widehat Z_0\prod_{s=1}^t\widehat\ell_s.

固定模型与观测，假设 $0<p(y_{0:t})<\infty$ 、上述支持条件成立且权重几乎处处有限。重采样决策在本轮抽祖先与传播前根据已有粒子信息作出，所用方案满足条件期望后代数 $\mathbb E[N_i\mid\text{当前粒子}]=N\widetilde w_{t-1}^i$ 。在这一标准构造下， $\mathbb E\widehat Z_t=p(y_{0:t})$ ；两个分支都在条件期望中实现同一个加权传播积分，逐步迭代即可得到此结论。[4, §§3.4–3.5] 它保证整个乘积无偏，不保证各个比率估计分别无偏。

若初始化或某次更新的真实总权重为零，记录粒子灭绝并停止过滤输出，将该次运行的 $\widehat Z_t$ 及后续似然估计定义为零；此时不定义归一化粒子后验。这个零值约定保留非负似然估计的无偏性，不能用任意正数替换灭绝结果。该性质支撑 pseudo-marginal 方法；对数估计则不继承无偏性，灭绝时为 $-\infty$ ，其有限期望还需另外的可积条件。

直觉

转移模型把每个粒子推向下一时刻可能到达的位置，观测似然再给“与新数据相符”的位置投票。重采样让高票粒子拥有更多后代，下一次传播便把计算集中到当前可信区域。这是预测、校正、资源再分配的循环。

bootstrap 提议在看见观测前就按状态动力学移动；当观测很尖锐时，大多数预测粒子会落在低似然区，权重迅速坍缩。使用 $y_t$ 的引导提议能提前朝观测兼容区移动，但必须在权重中除去提议密度，不能把引导重复算作证据。

例子与边界

设二状态链每步以概率 $0.8$ 保持原状态，以 $0.2$ 切换；先验过滤概率各为一半。观测 $Y=1$ 的似然为

P(Y=1\mid X=0)=0.1, \qquad P(Y=1\mid X=1)=0.7.

四个等权 bootstrap 粒子经一次实际传播得到 $(0,1,1,1)$ 。增量权重为 $(0.1,0.7,0.7,0.7)$ ，归一化后为

(1/22,7/22,7/22,7/22).

于是粒子过滤估计 $P(X=1\mid Y=1)=21/22\approx0.955$ 。精确预测仍为 $(0.5,0.5)$ ，精确校正值是 $0.7/(0.1+0.7)=0.875$ ；差异来自只有四个传播粒子的 Monte Carlo 波动，不应把单次粒子比例当成解析后验。若用均匀数 $0.02,0.30,0.65,0.95$ 重采样，累积权重给出一个状态 $0$ 和三个状态 $1$ ，随后恢复等权。

罕见而精确的观测会造成真实退化：若所有 bootstrap 粒子都落在 $g_t(y_t\mid x)=0$ 的区域，权重全零，过滤更新没有定义。增大粒子数只能降低而不能消除该事件；更合适的观测引导提议直接改变命中机制。数值下溢造成的全零应在对数域修复，两类失败必须区分。

保存完整路径还会遭遇祖先退化。反复重采样后，当前粒子可能多样，但它们在早期时刻往往共享同一个祖先，因而固定滞后之外的平滑分布很差。增加当前状态 ESS 不会恢复已丢失谱系；需要 backward simulation、ancestor sampling 或专门平滑器。固定 $N$ 的在线稳定性也依赖状态转移遗忘初值和观测似然界，不能从固定时刻一致性外推。

推论与应用

粒子滤波适用于非线性、非高斯且能模拟状态转移、评估观测似然的在线模型。输出不只是点估计：加权粒子给过滤不确定性，归一化常数增量给预测似然，祖先结构支持有限范围的路径推断。每项输出有不同退化机制，应分别诊断。

若转移近线性高斯，Kalman 滤波给解析基准，粒子法未必值得其随机成本；若状态维数升高而观测只容许很薄区域，所需粒子数可能急剧增长。改进应优先让提议利用当前观测，再控制重采样方差，最后才单纯增加粒子数。报告应包含粒子数、重采样方案与时刻、ESS 轨迹、log-likelihood 方差以及独立随机种子重复结果。

若单个状态存为 $d$ 个数，单粒子的提议抽样和所需密度评估合计成本为 $C_t$ ，并使用线性时间的无偏重采样实现，则一次更新需 $O(N(C_t+d))$ 工作，归一化与 ESS 各需 $O(N)$ 算术操作；密度计算、随机数和数值精度的成本包含在相应实现中，不能无条件视为常数。只保留当前状态、权重与本轮祖先索引需 $O(Nd+N)$ 个数值或索引槽位。若保存截至 $t$ 的全部粒子层和祖先索引，以便回溯谱系，则需 $O(N(t+1)d+Nt)$ 槽位；逐步复制整条路径还会增加与路径长度相关的时间。

参考资料

N. J. Gordon, D. J. Salmond, and A. F. M. Smith, “Novel Approach to Nonlinear/Non-Gaussian Bayesian State Estimation,” IEE Proceedings F 140(2), 1993, pp. 107–113.
Arnaud Doucet, Nando de Freitas, and Neil Gordon, eds., Sequential Monte Carlo Methods in Practice, Springer, 2001, Chs. 1–2.
Pierre Del Moral, Feynman-Kac Formulae, Springer, 2004, Chs. 7–9.
[4] Arnaud Doucet and Adam M. Johansen, “A Tutorial on Particle Filtering and Smoothing: Fifteen Years Later”, §§3.4–3.5，式 (36)：无偏重采样与按需重采样下的归一化常数增量；作者修订稿含 2012 年 3 月勘误。

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