粒子滤波器 | Codeboy's Blog

形式陈述

设隐藏状态空间模型为

X_0\sim\mu(dx_0),\qquad X_t\mid X_{t-1}=x_{t-1}\sim f_t(dx_t\mid x_{t-1}),

Y_t\mid X_t=x_t\sim g_t(dy_t\mid x_t),

且给定状态后观测条件独立。目标是观测 $y_{0:t}$ 后的过滤分布 $p(dx_t\mid y_{0:t})$ ，或保留路径时的 $p(dx_{0:t}\mid y_{0:t})$ 。粒子滤波是序贯 Monte Carlo在这列随时间增长目标上的严格特例。

设第 $t-1$ 步有粒子与归一化权重 $(x_{t-1}^i,\widetilde w_{t-1}^i)$ 。可先按权重抽祖先 $A_i$ ，再从依赖当前观测的提议

x_t^i\sim r_t(\,\cdot\mid x_{t-1}^{A_i},y_t)

传播。若已重采样，未归一化新权重为

w_t^i= \frac{g_t(y_t\mid x_t^i) f_t(x_t^i\mid x_{t-1}^{A_i})} {r_t(x_t^i\mid x_{t-1}^{A_i},y_t)}.

若本步跳过重采样，则还需乘旧权重 $w_{t-1}^i$ 。bootstrap filter 取 $r_t=f_t$ ，故增量权重简化为观测似然 $g_t(y_t\mid x_t^i)$ 。每步归一化后以 $\sum_i\widetilde w_t^ih(x_t^i)$ 估计过滤期望，并可按权重 ESS决定下一次是否重采样。

支持条件要求提议覆盖转移—似然乘积有正质量的状态。固定 $t$ 时，在常规有界性或矩与混合条件下，粒子经验分布随 $N\to\infty$ 一致并满足粒子系统中心极限定理；有限 $N$ 的归一化过滤期望一般有偏。标准无偏重采样下，边缘观测似然

p(y_{0:t})=\prod_{s=0}^t p(y_s\mid y_{0:s-1})

的粒子乘积估计是无偏的，这一性质支撑 pseudo-marginal 方法；取对数后则因 Jensen 不等式产生偏差。

直觉

转移模型把每个粒子推向下一时刻可能到达的位置，观测似然再给“与新数据相符”的位置投票。重采样让高票粒子拥有更多后代，下一次传播便把计算集中到当前可信区域。这是预测、校正、资源再分配的循环。

bootstrap 提议在看见观测前就按状态动力学移动；当观测很尖锐时，大多数预测粒子会落在低似然区，权重迅速坍缩。使用 $y_t$ 的引导提议能提前朝观测兼容区移动，但必须在权重中除去提议密度，不能把引导重复算作证据。

例子与边界

设二状态链每步以概率 $0.8$ 保持原状态，以 $0.2$ 切换；先验过滤概率各为一半。观测 $Y=1$ 的似然为

P(Y=1\mid X=0)=0.1, \qquad P(Y=1\mid X=1)=0.7.

四个等权 bootstrap 粒子经一次实际传播得到 $(0,1,1,1)$ 。增量权重为 $(0.1,0.7,0.7,0.7)$ ，归一化后为

(1/22,7/22,7/22,7/22).

于是粒子过滤估计 $P(X=1\mid Y=1)=21/22\approx0.955$ 。精确预测仍为 $(0.5,0.5)$ ，精确校正值是 $0.7/(0.1+0.7)=0.875$ ；差异来自只有四个传播粒子的 Monte Carlo 波动，不应把单次粒子比例当成解析后验。若用均匀数 $0.02,0.30,0.65,0.95$ 重采样，累积权重给出一个状态 $0$ 和三个状态 $1$ ，随后恢复等权。

罕见而精确的观测会造成真实退化：若所有 bootstrap 粒子都落在 $g_t(y_t\mid x)=0$ 的区域，权重全零，过滤更新没有定义。增大粒子数只能降低而不能消除该事件；更合适的观测引导提议直接改变命中机制。数值下溢造成的全零应在对数域修复，两类失败必须区分。

保存完整路径还会遭遇祖先退化。反复重采样后，当前粒子可能多样，但它们在早期时刻往往共享同一个祖先，因而固定滞后之外的平滑分布很差。增加当前状态 ESS 不会恢复已丢失谱系；需要 backward simulation、ancestor sampling 或专门平滑器。固定 $N$ 的在线稳定性也依赖状态转移遗忘初值和观测似然界，不能从固定时刻一致性外推。

推论与应用

粒子滤波适用于非线性、非高斯且能模拟状态转移、评估观测似然的在线模型。输出不只是点估计：加权粒子给过滤不确定性，归一化常数增量给预测似然，祖先结构支持有限范围的路径推断。每项输出有不同退化机制，应分别诊断。

若转移近线性高斯，Kalman 滤波给解析基准，粒子法未必值得其随机成本；若状态维数升高而观测只容许很薄区域，所需粒子数可能急剧增长。改进应优先让提议利用当前观测，再控制重采样方差，最后才单纯增加粒子数。报告应包含粒子数、重采样方案与时刻、ESS 轨迹、log-likelihood 方差以及独立随机种子重复结果。

参考资料

N. J. Gordon, D. J. Salmond, and A. F. M. Smith, “Novel Approach to Nonlinear/Non-Gaussian Bayesian State Estimation,” IEE Proceedings F 140(2), 1993, pp. 107–113.
Arnaud Doucet, Nando de Freitas, and Neil Gordon, eds., Sequential Monte Carlo Methods in Practice, Springer, 2001, Chs. 1–2.
Pierre Del Moral, Feynman-Kac Formulae, Springer, 2004, Chs. 7–9.

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