序贯 Monte Carlo

一次从容易分布跳到困难目标会产生悬殊权重；SMC 把跳跃拆成多个相邻目标，让粒子逐段付“密度比过路费”。归一化权重显示当前哪些粒子承担大部分目标质量，重采样把计算预算复制到这些位置，再由传播或 rejuvenation 核恢复多样性。

重采样只重新分配已有粒子的后代数，不会发现从未出现的区域。太晚重采样会让一个权重统治所有估计，太早或太频繁则反复丢弃低权重但潜在有用的谱系。目标序列、传播核和触发规则共同决定退化速度。

这里有两层不同的随机性。给定当前粒子，重采样只承诺后代经验分布的条件期望等于当前加权经验分布；它不承诺这个有限粒子分布已经等于真实目标。再对初始化和历次传播取平均，才讨论整套算法的偏差。归一化常数估计的无偏性属于后一层，不能从某一轮粒子图直接判断。

从三点均匀目标 ${\gamma }_0=(1,1,1)$ 桥接到 ${\gamma }_1=(1,3,6)$。令三个初始粒子恰为 $(a,b,c)$，权重相等，且本步不移动位置。增量权重为 $(1,3,6)$，归一化后是 $(0.1,0.3,0.6)$，其权重 ESS 为

若决定多项式重采样，取三个独立均匀数 $0.05,0.42,0.91$，按累积概率 $(0.1,0.4,1)$ 得到祖先 $(a,c,c)$；新粒子等权。重采样后的经验比例 $(1/3,0,2/3)$ 并不等于目标，但条件期望是 $(0.1,0.3,0.6)$。后续若没有能从 $a,c$ 到达 $b$ 的传播或 MCMC rejuvenation，状态 $b$ 已永久丢失。

有限粒子恰好没有进入重要模态，与提议对该模态赋零概率，是两种不同失败。若某模态的提议概率为 $r>0$，$N$ 个独立初始粒子全漏掉它的概率为 $(1-r{)}^N$；这次运行可能严重低估，但跨独立运行的归一化常数估计仍可能无偏。若 $r=0$ 且后续传播也无法到达，则真正违反支持条件，增加粒子数也无法补回目标质量。

例如提议访问某区域的概率为 $0.01$，该区域对目标积分贡献 $0.5$，单次命中需贡献权重 $50$。一百个粒子全漏掉它的概率为 ${0.99}^{100}\approx 0.366$，而该区域贡献估计 $50K/100$ 的期望仍为 $0.5$，其中 $K\sim \mathrm{Binomial}(100,0.01)$。许多运行低估、少数运行大幅补偿，能与无偏性同时存在；真正的问题是方差和单次可靠性。重采样本身无法修复已经漏掉的区域。

长序列还有谱系退化：即使当前状态粒子看起来分散，向后追溯的路径可能很快汇聚到同一个祖先，使早期状态和平滑函数估计贫化。

权重在概率域连乘时可能下溢为零，应改为累加对数权重，并用 log-sum-exp 归一化。若对数权重为 $a_i$，先减去最大值 $m$，再计算 $e^{a_i-m}/\sum _j{e}^{a_j-m}$，便避免共同的极小尺度；这要求至少有一个有限的 $a_i$。若所有粒子的真实增量权重都为零，则应检查观测、提议支持和粒子是否漏掉有效区域，不能靠加常数掩盖失败。固定粒子数下误差还可能随时间累积，固定时间的一致性不保证任意长运行保持同样精度。

静态后验可用温度序列 ${\gamma }_t=\text{prior}\times {\text{likelihood}}^{{\beta }_t}$ 从先验逐步走到后验；相邻温度根据权重退化自适应选择。状态空间模型则随观测时间扩展路径，得到具体的粒子滤波器公理库粒子滤波器Particle filter在状态空间模型中传播、加权并重采样粒子，以在线近似每个时刻的过滤分布与观测似然。。两者共享增量换测度与重采样机制，但目标序列的含义和稳定条件不同。

设计顺序应是先定义每个 ${\gamma }_t$ 和可验证的增量比，再选择覆盖其支持的传播核，最后按权重集中决定是否重采样。粒子数、ESS 阈值和 rejuvenation 次数都应以目标函数误差与成本评估。只画最终粒子云会遗漏归一化常数偏差和祖先坍缩，完整输出应保留每步 log normalizer 增量、ESS、重采样时刻及祖先索引。