逆概率处理加权

某协变量层接受处理的概率只有 $1/4$ 时，一个实际处理者代表该层约四个目标单位；概率为 $3/4$ 时只代表约 $4/3$ 个。倒数权重补回因选择机制而在各处理臂缺席的人，使处理臂和对照臂都重现同一个 $P_X$。

权重不是给“重要结局”更大声音，而是对抽样/分配概率做校正。它平衡的是权重模型中的处理前协变量；若共同原因未测，伪总体仍有混杂。

从加权后的协变量分布可直接看出机制：在 $X=x$ 层内，处理者总质量由 $e(x)$ 乘 $1/e(x)$ 变为 1，对照者则由 $1-e(x)$ 乘 $1/\{1-e(x)\}$ 也变为 1；再跨 $x$ 汇总时，两臂便使用相同的 $P_X$。这个恒等式也解释了极端倾向概率为何会在校正选择的同时放大结局噪声。

令 $P(X=0)=P(X=1)=1/2$，$e(0)=1/4,e(1)=3/4$，条件均值为

标准化目标为 ${\mu }_1=(3+4)/2=3.5$、${\mu }_0=(1+3)/2=2$，ATE 为 1.5。IP 加权直接复算：

未加权处理均值为 3.75，对照均值为 1.5，粗差 2.25；高基线的 $X=1$ 在处理组过多。权重把两臂的 $X$ 分布各自还原为一半一半。

若 $e(0)=0.01$，该层处理者权重为 100。形式识别仍可成立，但一个异常结局就可能支配估计，置信区间依赖尾部。稳定化权重可改善纵向权重的尺度，归一化可降低有限样本波动；二者都不能恢复 $e=0$ 的空支持。权重截断用偏差换方差，应与未截断结果和有效样本量一起报告。

倾向模型错设会留下加权后不平衡。仅用逻辑回归的 c-statistic 选模型不合适：完美预测反而意味着差 overlap。应检查标准化差异、权重分布和处理机制知识，并用灵活函数或校准方法改善 $e$ 的估计。

时间变化处理下，权重是各时点条件概率比的乘积。若既往处理影响后续混杂变量，普通基线 IPTW 不够；边际结构模型使用逐时概率创建遵循各方案的伪总体。任一时点接近零的概率都会累乘放大。

对任意可积 $h(X)$，真实权重满足

所以它不仅识别结果均值，也解释加权协变量为何应恢复总体分布。样本平衡偏离可用于诊断 estimation，但即使完全平衡也不能检验未测潜在结果交换性。

改变权重即可改变 estimand：ATE 权重对应全体总体，ATT 对对照者常用 $e(X)/(1-e(X))$，overlap weights 强调 $e(X)$ 接近 $1/2$ 的单位。权重公式和目标必须成对报告，否则同名“加权效应”可能回答不同政策问题。

逆概率加权在调查抽样中有直接的设计版本。Horvitz–Thompson 估计理路Horvitz–Thompson 估计量Horvitz-Thompson estimator以逆纳入概率恢复总体总量，逐项证明设计无偏，并区分总量与方差估计的正概率要求。用已知纳入概率恢复固定总体总量，无偏性来自抽样指示的期望；治疗加权的因果解释则还需要其自身的识别条件。两者共享代数机制，概率来源和目标不同。