平均处理效应 | Codeboy's Blog

形式陈述

在潜在结果框架中，二元处理 $A\in\{0,1\}$ 的总体平均处理效应定义为

\tau_{ATE}=E_P\{Y(1)-Y(0)\}=E_P\{Y(1)\}-E_P\{Y(0)\},

其中期望对预先指定的目标总体 $P$ 取。只要 $E|Y(a)|<\infty$ ，该 estimand 就有定义；它是否由观测分布识别是另一个命题。样本平均处理效应 $n^{-1}\sum_i\{Y_i(1)-Y_i(0)\}$ 、已处理者平均效应 $E\{Y(1)-Y(0)\mid A=1\}$ 与某个试验样本中的效应分别针对不同总体，不能都简称 ATE。

若只观察 $O=(X,A,Y)$ ，则 $P(O)$ 一般不决定 $\tau_{ATE}$ 。在处理版本明确且无干扰的一致性、 $(Y(0),Y(1))\perp A\mid X$ 的条件交换性，以及

P(A=a\mid X=x)>0, \quad a\in\{0,1\}, \quad P_X\text{-几乎处处 }x

的 positivity 下，ATE 被识别为

\tau_{ATE} =E_X\!\left[E(Y\mid A=1,X)-E(Y\mid A=0,X)\right].

这里的平均由期望定义。这条等式是观测分布与潜在结果分布之间的桥。用样本均值、回归、逆概率处理加权或双重稳健估计逼近右端，才属于 estimation。

直觉

ATE 先为每个单位做“处理世界减去对照世界”，再在目标总体平均。现实数据中的组间均值差则先按实际选择把人分组，再比较两群不同的人。两种运算只有在分配使组别可比时才重合。

平均的权重由目标总体决定。若试验招募了年轻、低风险患者，即使内部随机化完美，试验 ATE 仍可能不同于全国患者 ATE；这是效应异质性与总体构成共同造成的 transport 问题，不是抽样误差。报告一个数时，目标人群与随访时点和处理定义同样是 estimand 的一部分。

例子与边界

设目标总体由六种等权单位组成，其潜在结果为

类型	$Y(0)$	$Y(1)$	个体差
1	2	5	3
2	1	2	1
3	4	4	0
4	3	1	-2
5	0	2	2
6	5	7	2

ATE 可复算为 $(3+1+0-2+2+2)/6=1$ 。它没有声称每个人获益：类型 4 受害，类型 3 无效。若实际只让基线 $Y(0)\le2$ 的类型 1、2、5 接受处理，观测处理均值为 $(5+2+2)/3=3$ ，对照均值为 $(4+3+5)/3=4$ ，粗差 $-1$ ，方向与 ATE 相反。选择机制改变了被比较的人，却没有改变表中的因果目标。

在完全随机分配中，差均值对随机化的期望为有限总体 ATE；某一次小样本仍可能失衡，因此“无偏”不等于每次恰好等于 1。超总体 iid 抽样下还要同时区分抽样随机性与处理随机性。

ATE 对不可避免的效应异质性做了压缩。若政策关心“谁会获益”或尾部伤害，平均值不足；若目标是资源预算下的总体净变化，ATE 反而正是可加总的量。不能因为平均掩盖异质性就否定它，也不能由正 ATE 推出处理对每个单位安全。

非线性尺度也会改变目标。对二元结局，风险差 $E[Y(1)]-E[Y(0)]$ 、风险比 $E[Y(1)]/E[Y(0)]$ 与 odds ratio 不可互换；条件 odds ratio 即使各层相同，也可能不等于边缘 odds ratio。选择尺度必须发生在看数据之前，并与决策损失相符。

推论与应用

全期望公式给出 $\tau_{ATE}=E_X\{\tau(X)\}$ ，所以 ATE 是条件平均效应按目标协变量分布的加权平均。若研究样本的 $P_X$ 与政策总体不同，可以在效应可迁移且目标支持被覆盖时重新加权；缺少某类人则是外推假设，不会由更灵活的回归自动解决。

识别后，估计方法可以不同而目标相同。标准化直接平均两个条件结局回归；IPTW 构造处理分配被平衡的伪总体；双重稳健方法把两者的估计方程合并。方法间结果分歧常提示模型错设、极端权重或有限样本问题，但不应借机悄悄更换 estimand。

参考资料

Donald B. Rubin, “Estimating Causal Effects of Treatments in Randomized and Nonrandomized Studies,” Journal of Educational Psychology 66(5), 1974, pp. 688–701。
Guido W. Imbens and Donald B. Rubin, Causal Inference for Statistics, Social, and Biomedical Sciences, Cambridge University Press, 2015，Ch. 1–4。
Miguel A. Hernán and James M. Robins, Causal Inference: What If, Chapman & Hall/CRC, 2020，Ch. 1–3 与 13。

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