平均处理效应 | Codeboy's Blog

形式陈述

在潜在结果框架中，二元处理 $A\in\{0,1\}$ 的总体平均处理效应定义为

\tau_{ATE}=E_P\{Y(1)-Y(0)\}=E_P\{Y(1)\}-E_P\{Y(0)\},

其中期望对预先指定的目标总体 $P$ 取。只要 $E|Y(a)|<\infty$ ，该因果目标量就有定义；它是否由观测分布识别是另一个命题。样本平均处理效应 $n^{-1}\sum_i\{Y_i(1)-Y_i(0)\}$ 、已处理者平均效应 $E\{Y(1)-Y(0)\mid A=1\}$ 与某个试验样本中的效应分别针对不同总体，不能都简称 ATE。

若只观察 $O=(X,A,Y)$ ，则 $P(O)$ 一般不决定 $\tau_{ATE}$ 。在处理版本明确且无干扰的一致性、 $(Y(0),Y(1))\perp A\mid X$ 的条件交换性，以及

P(A=a\mid X=x)>0, \quad a\in\{0,1\}, \quad P_X\text{-几乎处处 }x

的正值性条件下，ATE 被识别为

\tau_{ATE} =E_X\!\left[E(Y\mid A=1,X)-E(Y\mid A=0,X)\right].

这里的平均由期望定义。识别等式可逐步检查：对 $a=0,1$ ，条件交换性先给 $E\{Y(a)\mid X\}=E\{Y(a)\mid A=a,X\}$ ，一致性再把右端改为 $E(Y\mid A=a,X)$ ，最后对同一个目标 $P_X$ 平均。正值性保证每个需要平均的层都有相应处理臂。三项假设分别完成不同工作，回归拟合本身不能替代任何一项。用样本均值、回归、逆概率处理加权或双重稳健估计逼近右端，才属于样本估计。

直觉

ATE 先为每个单位做“处理世界减去对照世界”，再在目标总体平均。现实数据中的组间均值差则先按实际选择把人分组，再比较两群不同的人。两种运算在分配使组别可比时才有识别保证。

识别 ATE 也不需要知道同一人的两个潜在结果如何配对：期望的线性性只用到 $Y(1)$ 和 $Y(0)$ 各自的边缘均值。不过 $\operatorname{Var}\{Y(1)-Y(0)\}$ 还含有两者的协方差，通常不能从只观察一个结局的平行组试验中识别；平均效应可识别不代表个体效应分布可识别。

平均的权重由目标总体决定。若试验招募了年轻、低风险患者，即使内部随机化完美，试验 ATE 仍可能不同于全国患者 ATE；这是效应异质性与总体构成共同造成的效应迁移问题，不是抽样误差。报告一个数时，目标人群与随访时点和处理定义同样是目标量定义的一部分。

例子与边界

设目标总体由六种等权单位组成，其潜在结果为

类型	$Y(0)$	$Y(1)$	个体差
1	2	5	3
2	1	2	1
3	4	4	0
4	3	1	-2
5	0	2	2
6	5	7	2

ATE 可复算为 $(3+1+0-2+2+2)/6=1$ 。它没有声称每个人获益：类型 4 受害，类型 3 无效。若实际只让基线 $Y(0)\le2$ 的类型 1、2、5 接受处理，观测处理均值为 $(5+2+2)/3=3$ ，对照均值为 $(4+3+5)/3=4$ ，粗差 $-1$ ，方向与 ATE 相反。选择机制改变了被比较的人，却没有改变表中的因果目标。

对这六个固定单位，若完全随机选三个治疗，所有 $\binom63=20$ 种分配等概率。每个单位进入治疗组的概率为 $1/2$ ，因此

E_A\!\left[\frac13\sum_i A_iY_i(1)\right] =\frac16\sum_iY_i(1)=\frac{21}{6},\qquad E_A\!\left[\frac13\sum_i(1-A_i)Y_i(0)\right] =\frac{15}{6}.

两式相减恰为 1。这里期望是对分配机制取的，表中每个人的潜在结果保持不变。在完全随机分配中，差均值对随机化的期望为有限总体 ATE；某一次小样本仍可能失衡，因此“无偏”不等于每次恰好等于 1。超总体 iid 抽样下还要同时区分抽样随机性与处理随机性。

ATE 对不可避免的效应异质性做了压缩。若政策关心“谁会获益”或尾部伤害，平均值不足；若目标是资源预算下的总体净变化，ATE 反而正是可加总的量。不能因为平均掩盖异质性就否定它，也不能由正 ATE 推出处理对每个单位安全。

非线性尺度也会改变目标。对二元结局，风险差 $E[Y(1)]-E[Y(0)]$ 、风险比 $E[Y(1)]/E[Y(0)]$ 与 odds ratio 不可互换；条件 odds ratio 即使各层相同，也可能不等于边缘 odds ratio。选择尺度必须发生在看数据之前，并与决策损失相符。

推论与应用

全期望公式给出 $\tau_{ATE}=E_X\{\tau(X)\}$ ，所以 ATE 是条件平均处理效应按目标协变量分布的加权平均。例如两个风险层的效应分别为 1 和 3，研究样本各占一半时 ATE 为 2；目标总体中高风险层占 80% 时，同样的层内效应给出 $0.2\cdot1+0.8\cdot3=2.6$ 。改变的是总体权重，不是层内因果机制。

若研究样本的 $P_X$ 与政策总体不同，可以在效应可迁移且目标支持被覆盖时重新加权；缺少某类人则是外推假设，不会由更灵活的回归自动解决。

识别后，估计方法可以不同而目标相同。标准化直接平均两个条件结局回归；IPTW 构造处理分配被平衡的伪总体；双重稳健方法把两者的估计方程合并。方法间结果分歧常提示模型错设、极端权重或有限样本问题，但不应借机悄悄更换目标量。

参考资料

Brady Neal, Introduction to Causal Inference from a Machine Learning Perspective, 在线教材，2020，§§2.3、4.5、7.1，作者稿。
Judea Pearl, Madelyn Glymour, and Nicholas P. Jewell, Causal Inference in Statistics: A Primer, Wiley, 2016，§§1.5、3.2、4.2–4.3，作者公开稿。

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