条件平均处理效应

CATE 描述的是基线状态如何改变处理的平均后果。它要求修饰变量在干预前确定，否则按处理后的中介或存活状态分层会同时受处理影响，两个世界中的“同一子群”不再一致。

异质性还取决于效应尺度。风险差可能随年龄改变，而风险比保持稳定；这两句并不矛盾。模型中的 $A\times X$ 系数只是某个链接函数尺度上的交互参数，只有在模型正确且目标尺度对应时，它才直接代表 CATE 的变化。

设 $X=0$ 的人占 $3/4$，$X=1$ 占 $1/4$。数据生成机制为

因此 $\tau (0)=1$，$\tau (1)=5$，总体 ATE 为 $(3/4)\times 1+(1/4)\times 5=2$。若另一个总体两层各占一半，而结构方程不变，其 ATE 变为 3；CATE 函数没有变，改变的是总体平均所用的权重。这一计算解释了为何试验效应向政策总体迁移需要目标协变量分布。

若处理在每个 $X$ 层内随机，则两个条件均值之差识别上述 1 和 5。若在 $X=1$ 层所有人都接受处理，$E(Y\mid A=0,X=1)$ 没有观测支持；再平滑的模型也只能外推 $\tau (1)$。此时总体 ATE 也因该层权重为 $1/4$ 而缺少非参数识别。

一个真实的失效边界是按治疗后的应答 $M$ 分层。目标 $E\{Y(1)-Y(0)\mid M=1\}$ 把实际处理影响的 $M$ 当作共同基线，处理组的 $M(1)=1$ 与对照组的 $M(0)=1$ 可能是不同的人。若科学问题确实关心“无论分到哪组都会应答者”，需定义 principal stratum，例如条件于 $M(1)=M(0)=1$；该层通常不能由普通随机试验直接识别。

数据驱动地搜索许多子组也会制造赢家诅咒。即使真实 $\tau (x)$ 恒定，在几十个切点中挑最大差异，其报告值也系统偏大。样本拆分、预先指定修饰变量或对整条函数给出诚实区间，解决的是 estimation 的选择偏差；它们不能补回未测混杂或支持空洞。

由迭代期望，

所以总体 ATE 是 CATE 的目标总体平均。该推导同时表明，运输效应时既要假设 $\tau (x)$ 可跨总体复用，又要知道新总体对 $x$ 的权重；只复制试验样本均值一般不够。

决策规则可由 CATE 导出：若处理成本在结果尺度上为 $c(x)$，无资源约束时可考虑对 $\tau (x)>c(x)$ 者处理。但估计误差、伤害约束和容量限制会改变最优规则；把正的点估计直接当个体治疗建议，混淆了条件平均与个体反事实。