因果调整公式 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $O=(X,A,Y)$ 来自观测分布 $P$ ，目标总体协变量分布为 $P_X^*=P_X$ 。对每个 $a\in\mathcal A$ ，逐项假设：

一致性： $A=a\Rightarrow Y=Y(a)$ ；
条件交换性： $Y(a)\perp A\mid X$ ，或对均值目标使用相应均值版本；
positivity： $P(A=a\mid X=x)>0$ 对 $P_X$ -几乎处处的 $x$ 成立。

则干预分布由观测分布识别：

P\{Y(a)\in B\} =\int P(Y\in B\mid A=a,X=x)\,dP_X(x).

均值版本利用条件期望写成

\mu_a=E\{Y(a)\}=E_X\{m_a(X)\}, \qquad m_a(x)=E(Y\mid A=a,X=x).

因此平均处理效应为 $\mu_1-\mu_0$ 。这是 identification 公式；iid 抽样或明确的复杂抽样机制进入 estimation，而非替代三项因果假设。用回归估计 $m_a$ 后对经验 $X_i$ 平均是 parametric g-formula/standardization 的 estimation 实现。若因果图中 $X$ 满足backdoor 准则，它为交换性提供结构充分条件。

直觉

每个协变量层先做可比的处理—对照比较，再按目标总体中该层出现的比例组合。粗组均值使用的是 $P(X\mid A=a)$ ，两个处理组权重不同；调整公式统一改用 $P_X$ ，从而移除由构成差异造成的混杂。

标准化不是“控制回归系数”。回归只用来恢复各层条件分布，最终必须把预测放回目标总体平均。非线性模型中，某个处理系数往往不等于边缘风险差；漏掉最后平均步骤会把 conditional 参数误当 marginal estimand。

例子与边界

令 $X$ 有三层，其总体概率、处理概率和结局条件均值为

$x$	$P(x)$	$P(A=1\mid x)$	$m_0(x)$	$m_1(x)$
0	0.2	0.1	1	3
1	0.5	0.4	2	3
2	0.3	0.8	4	5

若三项因果假设成立，标准化得到

\mu_1=0.2(3)+0.5(3)+0.3(5)=3.6,

\mu_0=0.2(1)+0.5(2)+0.3(4)=2.4,

所以 ATE 为 1.2。观测处理组按 $P(x)P(A=1\mid x)$ 加权，其均值为 $1.86/0.46\approx4.043$ ；对照组均值为 $1.02/0.54\approx1.889$ ，粗差约 2.154。两组对高基线层使用不同权重，解释了偏差。

若 $x=2$ 中无人处于对照， $m_0(2)$ 不由数据识别，上式的 $0.3\times4$ 只能靠外推。若漏掉一个同时影响 $A,Y$ 的变量 $U$ ，表中 $m_a(x)$ 仍是可精确估计的关联均值，却不等于 $E\{Y(a)\mid X=x\}$ 。大样本和灵活模型分别不能修复 positivity 与交换性。

处理后的中介 $M$ 不应机械并入总效应调整集。把 $M$ 加入 $X$ 后，积分使用的究竟是自然 $P(M\mid A=a,X)$ 、另一处理下的中介分布，还是固定中介干预，决定了不同 estimand。普通基线 g-formula 的证明不覆盖这种跨世界替换。

模型错设属于 estimation 边界。若真实 $m_a(x)$ 有强非线性而只拟合无交互直线，plug-in 估计可有偏；交叉验证或灵活学习器改善拟合，但标准误还需处理 nuisance estimation。识别公式正确并不自动校准有限样本区间。

推论与应用

推导只需三次替换：迭代期望给 $E\{Y(a)\}=E_XE\{Y(a)\mid X\}$ ；交换性加入 $A=a$ 条件；一致性把 $Y(a)$ 换成 $Y$ 。Positivity 保证最后条件期望在积分支持上由观测分布定义。这条链清楚标出每项假设负责哪一步。

对时间变化处理，递归应用同一思路得到纵向 g-formula：依次对每个时点的协变量转移核与结果核积分，同时把处理历史固定为方案。时间变化混杂若受既往处理影响，简单把所有历史塞进一个末次回归会阻断部分作用；需要按时间顺序标准化。

参考资料

James M. Robins, “A New Approach to Causal Inference in Mortality Studies with a Sustained Exposure Period—Application to Control of the Healthy Worker Survivor Effect,” Mathematical Modelling 7(9–12), 1986, pp. 1393–1512。
Miguel A. Hernán and James M. Robins, Causal Inference: What If, Chapman & Hall/CRC, 2020，Ch. 13 与 §21.1。
Judea Pearl, Causality: Models, Reasoning, and Inference, 2nd ed., Cambridge University Press, 2009，Theorem 3.3.2。

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