前向误差与后向误差

前向分析站在原题旁边量答案的距离；后向分析则问，计算结果究竟精确解了哪一道邻近题。后者往往更容易，因为算法执行留下的残差能直接构造一个输入扰动，也更能解释稳定算法为何可信：它至少没有把原题改成一题很远的新题。

后向误差不是把舍入步骤倒序执行。它是关于问题输入的最小扰动定义：一份好的解释既要说扰动有多小，也要说移动了哪些数据、保留了哪些结构。

对线性系统 $Ax=b$，给定近似解 $\hat{x}$，令残差 $r=b-A\hat{x}$。保持 $A$ 不变并把右端改成 $\tilde{b}=b-r=A\hat{x}$，则 $\hat{x}$ 是邻近系统 $A\hat{x}=\tilde{b}$ 的精确解。因此右端相对后向误差为 $\Vert r\Vert /\Vert b\Vert$。若允许矩阵和右端都按同一相对预算 $\eta$ 扰动，即

则对相容的向量与矩阵范数，常用的 normwise 后向误差为

分母把方程两侧的自然尺度纳入比较；裸的 $\Vert r\Vert$ 仍带有右端单位，不能跨缩放比较。

病态矩阵可能把极小的右端扰动放大成很大的解变化。以 $A=\mathrm{diag}(1,{10}^{-8})$、$b=(1,{10}^{-8}{)}^{\mathsf{T}}$ 和 $\hat{x}=(1,0{)}^{\mathsf{T}}$ 为例，右端相对后向误差约为 ${10}^{-8}$，相对前向误差却是 $1/\sqrt{2}$。这不推翻后向分析，反而准确揭示了误差由问题敏感性放大。

对多项式求值，$\hat{y}$ 可能非常接近 $p(x)$，却未必等于一组略微扰动的系数在同一点的精确值；若要求系数扰动保持稀疏、符号或次数，结论又会改变。所谓“稳定”必须与后向扰动模型配对。

数值稳定性公理库数值稳定性Numerical stability · Backward stability以允许的小输入扰动刻画算法的有限精度行为，并与问题条件性及其他稳定性概念分开。经常以小后向误差作为算法标准，而残差与误差估计公理库残差、误差估计与停止准则Residual and error estimation · Stopping criterion区分可计算残差与未知真误差，并说明把缺陷转成误差界和停止证书所需的条件。研究如何从可计算缺陷得到后向或前向证书。后续矩阵分解会分别说明其因子满足哪个邻近矩阵的精确关系，避免把所有稳定性压成一句“结果很准”。

实验中若真解已知，应同时报告前向误差和可计算的后向量；若真解未知，后向误差与条件估计比单独残差更有解释力。两种视角互补，不是谁替代谁。