Lipschitz 连续

连续性只说输入足够接近时输出也接近，却不提供统一速度。Lipschitz 条件给出一只覆盖整个指定区域的锥：输入距离缩小多少，输出距离最多按固定倍数变化。这个定量约束可以直接进入误差传播、稳定性与唯一性估计。

局部与全局的区别不是措辞细节。局部 Lipschitz 允许常数随观察区域改变，足以防止 ODE 解在同一点附近立即分叉；但轨道走向无穷时，局部常数可能失控，不能据此保证全局增长或永久存在。

$f(x)=|x|$ 在 $\mathbb{R}$ 上满足

所以是 $1$-Lipschitz，却在 $0$ 不可微。这说明 Lipschitz 不要求处处有导数。函数 $f(x)=x^2$ 在每个有界区间上 Lipschitz，因为导数有界，但在整个 $\mathbb{R}$ 上不是全局 Lipschitz。

$f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上连续甚至一致连续，却不在 $0$ 附近 Lipschitz，因为 $|\sqrt{x}-0|/|x-0|=1/\sqrt{x}$ 无界。可微也不自动推出全局 Lipschitz：必须控制导数并确保连接两点的路径留在定义域内；非凸域上的简单线段证明不能直接使用。

Banach 不动点定理公理库Banach 不动点定理Banach fixed-point theorem · Contraction mapping theorem完备度量空间上的压缩映射具有唯一不动点，且迭代以几何速度收敛。使用 $L<1$ 把迭代误差变成几何级数。Picard–Lindelöf 定理公理库Picard–Lindelöf 存在唯一性定理Picard-Lindelof theorem · Cauchy-Lipschitz theorem连续且对状态变量局部一致 Lipschitz 的向量场给出常微分方程初值问题的唯一局部解。要求向量场对状态变量局部一致 Lipschitz，以保证初值问题的局部唯一性；Grönwall 不等式公理库Grönwall 不等式Gronwall inequality · Grönwall lemma将受自身积分控制的非负函数封闭为显式指数上界。则把 Lipschitz 常数转化为解对初值的指数稳定界。

在数值分析与优化中，函数 Lipschitz、梯度 Lipschitz 和强凸是不同条件。$f$ 的梯度为 $L$-Lipschitz 控制的是曲率变化，不能缩写成“$f$ 是 Lipschitz”而省略对象。