Grönwall 不等式

不等式允许当前误差由“初始误差 + 过去误差的加权积累”控制。Grönwall 不等式把这种自引用封闭成指数上界：每一小段时间都可能按比例放大现有量，连续复合后形成指数因子。

辅助函数 $v$ 的作用是把右侧积分变成一个可微对象。关键逻辑链是

随后乘积分因子消去 $bv$。乘积的可积性使 $v$ 绝对连续，因而几乎处处的导数不等式可以积分成整个区间上的比较。

若

则 $b\equiv 3$，因而

这给出的是所有满足积分不等式函数的统一上界，不要求 $u$ 本身满足等号微分方程。

若两条 ODE 解之差满足

便得到

当初值相同，右侧为零，于是推出解唯一。

$b\ge 0$ 使 $u\le v$ 保持为 $bu\le bv$。若积分系数有正有负，非负的 $u$ 允许先用 $b_{+}=max(b,0)$ 放大积分项，再应用这一版本。若绝对连续函数 $u$ 满足微分不等式 $u^{\prime }\le bu$，则积分因子法可直接保留 $b$ 的符号。例如 $u^{\prime }\le -u$ 给出 $u(t)\le e^{-t}u(0)$，准确反映衰减。

离散递推

在 $a,b_k,u_k\ge 0$ 时给出

令 $v_n=a+\sum _{k<n}{b}_k{u}_k$，则 $u_n\le v_n$ 且 $v_{n+1}\le (1+b_n)v_n$，逐步相乘就得到上述界。

Grönwall 不等式是常微分方程唯一性、连续依赖、数值误差传播和偏微分方程能量估计的标准收尾工具。Lebesgue 积分理路Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。提供可积系数与几乎处处微分框架，绝对连续函数理路绝对连续函数Absolutely continuous function · Absolute continuity on an interval把有限组总长度很小的区间送到总振幅很小的函数类，并满足 Lebesgue 版微积分基本定理。则保证积分辅助量可以恢复其导数。

在后验ODE误差管理路后验 ODE 误差管与延拓证书A posteriori ODE tube · Validated defect bound for ODE用整条管内的Jacobian增长界和连续候选轨道的残差，认证全部允许初值的真实解存在到终点且留在显式误差管内。中，本页的带符号微分比较负责传播残差，另需在整条工作管内认证Jacobian增长量。细误差管严格留在工作管内部，再配合首次出管与紧集延拓，才能同时证明解存在到终点；只沿近似曲线求系数后套用指数式，还没有消除空间假设的循环。

例如非负连续的数值误差满足 $e(t)\le e(0)+{\int }_0^t(Le(s)+\eta )ds$，其中 $L,\eta \ge 0$，非齐次版本给出

第一项是初始误差的传播，第二项是持续注入的离散误差；两种来源由此分别得到量化。 快慢轨道逼近理路Tikhonov 奇异摄动定理Tikhonov singular perturbation theorem · Tikhonov theorem for slow-fast systems在明确的指数吸引快变量模型中，证明慢变量的固定时窗误差，并把快变量的初始层与持续跟踪误差分开。把快速偏差的短时积分作为非齐次输入，得到固定窗口误差；周期平均法理路周期常微分方程的平均法Periodic averaging for ordinary differential equations · First-order averaging theorem对小幅周期向量场取周期平均，用零均值原函数控制振荡积累，并证明长度为参数倒数的时间窗上的误差界。则利用状态方程中的小参数，把放大因子控制为 $e^{\epsilon Lt}$，从而处理 $T/\epsilon$ 的长窗口。

若误差累计核变成 $(t-s{)}^{\alpha -1}/\mathrm{\Gamma }(\alpha )$，普通指数界的推导已不直接适用。弱奇异比较与Mittag–Leffler响应理路Mittag–Leffler响应与分数阶松弛Mittag–Leffler function · Mittag-Leffler relaxation · 分数阶松弛响应以Gamma分母级数求线性分数阶初值响应，证明绝对连续与弱奇异比较界，并为半阶松弛给正积分、代数长尾和有限截断证书。用重复分数阶积分给 $A{E}_{\alpha }(L{t}^{\alpha })$ 及单独的持续缺陷项；正系数比较会舍弃负反馈，所以安全预算仍可能明显保守。

当微分不等式还含过去窗口的最大误差时，Halanay比较理路Halanay 不等式与延迟误差底线Halanay inequality · Forced Halanay bound · 时滞微分不等式比较当前阻尼与过去窗口的最坏反馈，用完整上解证明指数衰减及持续扰动留下的可计算误差底线。保留当前阻尼与延迟增益：a>b时可认证正指数率，持续残差留下η/(a−b)底线。当前点和整段历史窗口的界还相差一次时间平移；不能将过去状态直接换成当前值后套无延迟公式。