Grönwall 不等式

形式陈述 ​

设 $u:[0,T]\to [0,\mathrm{\infty })$ 可测，$b:[0,T]\to [0,\mathrm{\infty })$ 可积，且对几乎所有 $t\in [0,T]$ 有

$$u(t)\le a+{\int }_0^{t}b(s)u(s)ds,a\ge 0.$$

则对几乎所有 $t\in [0,T]$，

$$u(t)\le a\exp ({\int }_0^{t}b(s)ds).$$

当 $b(s)\equiv L$ 时，结论简化为 $u(t)\le a{e}^{Lt}$。一种证明令

$$v(t)=a+{\int }_0^{t}b(s)u(s)ds,$$

则 $u\le v$ 且几乎处处有 $v^{\prime }(t)=b(t)u(t)\le b(t)v(t)$；乘以积分因子 $\exp (-{\int }_0^{t}b)$ 后得到单调性。若起始项改为随 $t$ 变化的函数，结论也必须改用相应的非齐次版本，不能继续套常数 $a$ 的公式。

直觉 ​

不等式看似循环：要控制 $u(t)$，右端又包含过去所有 $u$。Grönwall 的作用是把这种自引用一次封闭。若当前增长最多与已有规模成比例，那么连续累积的最坏情况就是指数增长；指数并非粗糙猜测，而是“增长率正比于自身”恰好达到的上界。

它尤其适合比较两条演化轨道。把二者距离记为 $u(t)$，微分方程的 Lipschitz 条件会把向量场之差控制为 $Lu(t)$，积分后正落入 Grönwall 的形式。于是局部的速度差上限被转成整个时间区间的稳定性估计。

例子与边界 ​

若 $x,y$ 满足同一 ODE $z^{\prime }=f(t,z)$，且 $f$ 对状态变量为 $L$-Lipschitz，则

$$\Vert x(t)-y(t)\Vert \le \Vert x(0)-y(0)\Vert +L{\int }_0^t\Vert x(s)-y(s)\Vert ds.$$

因此

$$\Vert x(t)-y(t)\Vert \le e^{Lt}\Vert x(0)-y(0)\Vert .$$

相同初值时右端为零，立即得到唯一性；不同初值时则给出连续依赖的定量界。

非负性或绝对值处理不能省略，因为证明要用 $u\le v$ 与乘积分因子。若 $b$ 不可积，指数中的积分可能没有有限意义。若已知的是 $u(t)\le a(t)+{\int }_0^{t}b(s)u(s)ds$，把增长的 $a(t)$ 粗暴替成 $a(0)$ 会得到错误结论；应使用推广式或先求 $a$ 的适当上界。Grönwall 控制给定区间内的相对增长，也不凭空提供全局初始界。

推论与应用 ​

Picard–Lindelöf 定理公理库Picard–Lindelöf 存在唯一性定理Picard-Lindelof theorem · Cauchy-Lipschitz theorem连续且对状态变量局部一致 Lipschitz 的向量场给出常微分方程初值问题的唯一局部解。用压缩映射构造局部解，Grönwall 则高效证明唯一性、解对初值和参数的稳定性。数值分析中，它把逐步或局部截断误差累积成全局误差上界；偏微分方程的能量估计也常在得到积分不等式后以它收尾。

常数版足以处理许多局部 ODE 估计，非恒定 $b$ 的积分形式保留了时间变化的真实增长率。选择最贴近现有估计的一版，能避免无谓放大常数。

参考资料

• Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, 2012，§2.2, Grönwall's inequality and continuous dependence。
• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., American Mathematical Society, 2010，Appendix B, Grönwall's inequality。