绝对连续函数

一致连续公理库一致连续Uniform continuity同一 δ 对定义域中所有点同时控制给定 ε。只控制单个短区间上的振幅，绝对连续还控制任意有限组短区间的总振幅。它禁止函数把总长度任意小的集合累积成固定大小的变化，因此函数的全部变化都能由可积导数恢复。

这正是把“积分定义的辅助函数”安全地求导所需的函数类。许多积分不等式证明先构造 $V(t)=c+{\int }_0^{t}f(s)ds$，随后使用 $V^{\prime }=f$ 几乎处处；隐含的桥梁就是绝对连续性。

积分表示为什么保证定义中的总振幅控制？设 $F(x)=c+{\int }_a^{x}f$，$f\in L^1$，并令 $E$ 为这些不交区间的并，则

选择 $M>0$ 使 ${\int }_{\{|f|>M\}}|f|<\epsilon /2$，再取 $|E|<\epsilon /(2M)$，右端就小于 $\epsilon$。这说明导数可以局部很大，只要“大值部分”的总积分能控制住。

每个 Lipschitz 函数都绝对连续：若 Lipschitz 常数为 $L>0$，则总振幅不超过 $L\sum _k(y_k-x_k)$，取 $\delta =\epsilon /L$ 即可；常函数的结论直接成立。函数 $F(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上绝对连续，虽然导数在 $0$ 附近无界，因为 $F^{\prime }(x)=1/(2\sqrt{x})$ 仍可积。

Cantor 函数连续、单调，且几乎处处导数为零，却从 $0$ 增长到 $1$；它不是绝对连续。这说明“连续 + 几乎处处可导 + 导数可积”仍不足以推出由导数积分恢复原函数。

只取一个区间就得到绝对连续蕴含一致连续；Cantor 函数在紧区间上已一致连续，因而也见证逆命题失败。绝对连续的定义可以推广到无界区间，但它与局部绝对连续 $A{C}_{\mathrm{loc}}$ 不同：$x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 的每个紧区间上绝对连续，却不在整条实轴上一致连续，所以也不全局绝对连续。积分表示的全局结论必须另查积分条件。

Lebesgue 积分公理库Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。把 $L^1$ 函数送到绝对连续的原函数。积分形式的 Grönwall 不等式、常微分方程解、Sobolev 空间的一维代表以及分部积分都依赖这一结构。例如 $F,G\in AC([a,b])$ 时，二者有界，$F^{\prime }G$ 与 $F{G}^{\prime }$ 都可积，且

这里使用的是乘积仍绝对连续以及几乎处处的乘积求导法则。

绝对连续性还是“函数的变化没有奇异部分”的表述。单调函数一般可分解为绝对连续部分、跳跃部分和奇异连续部分；Cantor 函数提供最后一类的典型边界。