绝对连续函数

一致连续理路一致连续Uniform continuity同一 δ 对定义域中所有点同时控制给定 ε。只控制单个短区间上的振幅，绝对连续还控制任意有限组短区间的总振幅。它禁止函数把总长度任意小的集合累积成固定大小的变化，因此函数的全部变化都能由可积导数恢复。

这正是把“积分定义的辅助函数”安全地求导所需的函数类。许多积分不等式证明先构造 $V(t)=c+{\int }_0^{t}f(s)ds$，随后使用 $V^{\prime }=f$ 几乎处处；隐含的桥梁就是绝对连续性。至于差商为何回到原来的 $f$，Lebesgue 微分定理理路Lebesgue 微分定理Lebesgue differentiation theorem局部可积函数在几乎每一点都由缩小球上的平均恢复，且该点附近的平均绝对振荡趋零。在几乎每一点控制小区间上的平均绝对振荡；它无需假定被积函数在该点连续。

积分表示为什么保证定义中的总振幅控制？设 $F(x)=c+{\int }_a^{x}f$，$f\in L^1$，并令 $E$ 为这些不交区间的并，则

选择 $M>0$ 使 ${\int }_{\{|f|>M\}}|f|<\epsilon /2$，再取 $|E|<\epsilon /(2M)$，右端就小于 $\epsilon$。这说明导数可以局部很大，只要“大值部分”的总积分能控制住。

每个 Lipschitz 函数都绝对连续：若 Lipschitz 常数为 $L>0$，则总振幅不超过 $L\sum _k(y_k-x_k)$，取 $\delta =\epsilon /L$ 即可；常函数的结论直接成立。函数 $F(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上绝对连续，虽然导数在 $0$ 附近无界，因为 $F^{\prime }(x)=1/(2\sqrt{x})$ 仍可积。

同样的可积奇性出现在Caputo初值问题理路Caputo导数与分数阶初值Caputo fractional derivative · Caputo initial value problem · Caputo分数阶初值问题在绝对连续类中定义带起点的Caputo导数，证明初值与积分式的等价条件，追踪零点奇性、非半群行为和重启时不可丢弃的记忆项。中：$u(t)=u_0+t^{\alpha }/\mathrm{\Gamma }(1+\alpha )$ 在 $0<\alpha <1$ 时属于 $AC$，普通导数在零点却无界。$AC$ 使先微分再作幂核积分有明确 $L^1$ 含义；若只在连续函数空间求得积分方程解，仍须另证 $AC$，才能使用这个经典导数定义。

Cantor 函数连续、单调，且几乎处处导数为零，却从 $0$ 增长到 $1$；它不是绝对连续。这说明“连续 + 几乎处处可导 + 导数可积”仍不足以推出由导数积分恢复原函数。

只取一个区间就得到绝对连续蕴含一致连续；Cantor 函数在紧区间上已一致连续，因而也见证逆命题失败。绝对连续的定义可以推广到无界区间，但它与局部绝对连续 $A{C}_{\mathrm{loc}}$ 不同：$x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 的每个紧区间上绝对连续，却不在整条实轴上一致连续，所以也不全局绝对连续。积分表示的全局结论必须另查积分条件。

Lebesgue 积分理路Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。把 $L^1$ 函数送到绝对连续的原函数。积分形式的 Grönwall 不等式、常微分方程解、Sobolev 空间的一维代表以及分部积分都依赖这一结构。例如 $F,G\in AC([a,b])$ 时，二者有界，$F^{\prime }G$ 与 $F{G}^{\prime }$ 都可积，且

这里使用的是乘积仍绝对连续以及几乎处处的乘积求导法则。

测度的绝对连续性理路测度的绝对连续Absolute continuity of measures当一个测度的零集必为另一个测度的零集时成立的支配关系。比较两个测度的零集；本页的函数条件控制有限组短小不交区间上的总增量。在单调情形，可以把增量记录为 Lebesgue–Stieltjes 测度。具体地，若 $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ 非减且绝对连续，令 ${\nu }_F$ 在 $(a,b]$ 上满足 ${\nu }_F((s,t])=F(t)-F(s)$；本页的积分表示给出 $d{\nu }_F=F^{\prime }d\lambda$，从而 ${\nu }_F\ll \lambda$。Cantor 函数则把正的总增量集中在 Lebesgue 零测集上，其增量测度是奇异的。这说明函数的变化可以通过测度分析，但不能把两种绝对连续的定义直接互换。

在Schilder 定理理路Schilder 定理Schilder theorem在一致路径拓扑下，以平方速度能量刻画小噪声 Brownian 路径的大偏差成本。中，绝对连续且导数平方可积的路径组成有限大偏差成本区域。其能量积分既给出到达指定终点的最省成本直线，也通过共同连续模保证速率子水平集的紧性。