线性常微分方程组

线性是全部结构的来源：叠加原理使齐次解集成为向量空间，于是不必对每个初值单独求解，只需一次性弄清一组基如何演化——基本矩阵就是这本总账，第 $j$ 列记录初始方向 $e_j$ 随时间的去向，任意初值的齐次解就是 $\mathrm{\Phi }(t)x_0$。非齐次项按 Duhamel 原理理解：时刻 $s$ 注入的微小冲击 $b(s)ds$ 此后按齐次动力学演化，到时刻 $t$ 变成 $\mathrm{\Phi }(t)\mathrm{\Phi }(s{)}^{-1}b(s)ds$；把所有时刻的贡献积分起来，再叠加初值的自由演化，正是常数变易公式的内容。常系数情形下"演化"就是矩阵指数：把 $A$ 化成对角形或标准形后，耦合的方程组解耦为一组标量的指数增长、衰减与旋转，矩阵的谱数据直接翻译成动力学行为。

谐振子 $u^{″}=-u$ 引入 $x=(u,u^{\prime }{)}^{\mathrm{\top }}$ 后化为 $x^{\prime }=Ax$，$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$。由 $A^2=-I$ 可直接求和得

解沿圆周旋转，对应一对纯虚特征值公理库特征值与特征向量Eigenvalue and eigenvector满足 Tv=λv 且 v 非零的标量 λ 与向量 v。 $\pm i$。与之对照，Jordan 块 $A=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$ 给出 $e^{tA}=e^{\lambda t}\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right)$：非平凡的 Jordan 标准形公理库Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。块使指数因子之外又长出多项式因子 $t$，这正是重根"共振"项的来源。

变系数情形有一个高频错误：把解写成 $\exp ({\int }_{t_0}^{t}A(s)ds)$。这仅当不同时刻的矩阵两两交换（例如 $A(t)$ 恒为对角，或 $A(t)=a(t)B$）时才成立；一般非交换情形必须使用时间有序指数（Peano–Baker 级数），直接把积分塞进指数通常是错的。另一个普遍成立的事实是 Liouville 公式：基本矩阵的行列式公理库行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。（Wronskian）满足

因而永不为零——一组解要么处处线性无关，要么处处相关，不会中途退化。最后，"解在整个系数区间上存在"是线性特有的礼遇：非线性方程如 $x^{\prime }=x^2$ 的解可以在有限时间内爆破，线性系统的解则总能活到系数定义区间的尽头。

线性系统是矩阵谱与连续时间动力学之间的词典。连续系数使右端对状态局部 Lipschitz，Picard–Lindelöf 定理公理库Picard–Lindelöf 存在唯一性定理Picard-Lindelof theorem · Cauchy-Lipschitz theorem连续且对状态变量局部一致 Lipschitz 的向量场给出常微分方程初值问题的唯一局部解。先给出唯一局部解，线性增长再让解延拓到整个系数区间；Grönwall 不等式公理库Grönwall 不等式Gronwall inequality · Grönwall lemma将受自身积分控制的非负函数封闭为显式指数上界。则量化初值与扰动误差。

常系数情形，全部特征值实部为负当且仅当原点渐近稳定，这一谱判据是平衡点稳定性公理库平衡点稳定性Stability of an equilibrium初值受到小扰动时轨道保持接近或最终回到平衡点的性质。分析的基石；在非线性动力系统公理库动力系统Dynamical system以时间加法幺半群对状态空间的作用统一描述离散迭代、流与半流。的平衡点处线性化，双曲情形的局部行为由线性部分主导——但线性化只是局部近似，并不意味着非线性系统可以全局线性化。工程上，控制理论用状态转移矩阵 $\mathrm{\Phi }$ 描述系统对输入的响应。

矩阵指数仍是本页的精确演化结构，离散时间方法怎样用放大因子近似它由绝对稳定域公理库ODE 方法的绝对稳定域Absolute stability region · Region of absolute stability · A-stability以标量衰减测试方程的放大因子定义一步法稳定域，并区分 A-stability、L-stability、精度与其他稳定概念。分析。若快速衰减谱尺度迫使显式方法采用远小于精度需求的步长，则进入刚性 ODE公理库刚性常微分方程Stiff ordinary differential equation · Stiff ODE · Stiffness刻画快速衰减模态迫使显式方法使用远小于精度需求的步长这一方法相关现象，并说明隐式路线的能力与代价。的计算情形。高阶标量方程通过引入各阶导数作为分量化为一阶系统，因此本页理论同时覆盖振动方程等经典对象。