线性常微分方程组

线性是全部结构的来源：叠加原理使齐次解集成为向量空间，于是不必对每个初值单独求解，只需一次性弄清一组基如何演化——基本矩阵就是这本总账，第 $j$ 列记录初始方向 $e_j$ 随时间的去向，任意初值的齐次解就是 $\mathrm{\Phi }(t)x_0$。非齐次项按 Duhamel 原理理解：时刻 $s$ 注入的微小冲击 $b(s)ds$ 此后按齐次动力学演化，到时刻 $t$ 变成 $\mathrm{\Phi }(t)\mathrm{\Phi }(s{)}^{-1}b(s)ds$；把所有时刻的贡献积分起来，再叠加初值的自由演化，正是常数变易公式的内容。受迫热方程的 Duhamel 公式理路热方程的 Duhamel 原理Duhamel principle for the heat equation把各时刻注入的空间热源先演化到共同终时再积分，构造受迫热方程的解，并区分经典解与积分意义的 mild 解。让热半群接替基本矩阵，还需核验函数空间中的积分解是否具有经典导数。常系数情形下"演化"就是矩阵指数：把 $A$ 化成对角形或标准形后，耦合的方程组解耦为一组标量的指数增长、衰减与旋转，矩阵的谱数据直接翻译成动力学行为。

谐振子 $u^{″}=-u$ 引入 $x=(u,u^{\prime }{)}^{\mathrm{\top }}$ 后化为 $x^{\prime }=Ax$，$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$。由 $A^2=-I$ 可直接求和得

解沿圆周旋转，对应一对纯虚特征值理路特征值与特征向量Eigenvalue and eigenvector满足 Tv=λv 且 v 非零的标量 λ 与向量 v。 $\pm i$。与之对照，Jordan 块 $A=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$ 给出 $e^{tA}=e^{\lambda t}\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right)$：非平凡的 Jordan 标准形理路Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。块使指数因子之外又长出多项式因子 $t$，这正是重根"共振"项的来源。

变系数情形有一个高频错误：把解写成 $\exp ({\int }_{t_0}^{t}A(s)ds)$。不同时刻的矩阵两两交换（例如 $A(t)$ 恒为对角，或 $A(t)=a(t)B$）是这一公式成立的充分条件，并非必要条件；一般非交换情形不能直接把积分塞进指数，可用 Peano–Baker 级数构造基本矩阵。另一个普遍成立的事实是 Liouville 公式：基本矩阵的行列式理路行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。（Wronskian）满足

因而永不为零——一组解要么处处线性无关，要么处处相关，不会中途退化。最后，这里的线性增长估计保证解可延拓到整个系数定义区间。一般非线性方程如 $x^{\prime }=x^2$ 的解可能有限时爆破；满足相应全局 Lipschitz 与增长条件的非线性系统也可具有全局解。

线性系统是矩阵谱与连续时间动力学之间的词典。连续系数使右端对状态局部一致 Lipschitz，Picard–Lindelöf 定理理路Picard–Lindelöf 存在唯一性定理Picard-Lindelof theorem · Cauchy-Lipschitz theorem连续且对状态变量局部一致 Lipschitz 的向量场给出常微分方程初值问题的唯一局部解。先给出唯一局部解。在任何含 $t_0$ 的紧时间区间上，取 $\Vert A(t)\Vert \le M$、$\Vert b(t)\Vert \le B$。对向前时间，积分式和Grönwall 不等式理路Grönwall 不等式Gronwall inequality · Grönwall lemma将受自身积分控制的非负函数封闭为显式指数上界。给

向后时间反向参数化即可得到同类界，因此解在系数区间内部的有限端点不会爆破，可以延拓到整个 $I$。若 $\mathrm{\Phi }(t_1)c=0$，轨道 $\mathrm{\Phi }(t)c$ 在 $t_1$ 与零解相遇，唯一性给 $c=0$，从而基本矩阵始终可逆。最后对 $z={\mathrm{\Phi }}^{-1}x$ 求导，得到 $z^{\prime }={\mathrm{\Phi }}^{-1}b$，积分便是上面的常数变易公式。

常系数情形，对齐次系统 $x^{\prime }=Ax$，全部特征值实部为负当且仅当原点渐近稳定，这一谱判据是平衡点稳定性理路平衡点稳定性Stability of an equilibrium初值受到小扰动时轨道保持接近或最终回到平衡点的性质。分析的基石；在非线性动力系统理路动力系统Dynamical system以时间加法幺半群对状态空间的作用统一描述离散迭代、流与半流。的平衡点处线性化，双曲情形的局部行为由线性部分主导——但线性化只是局部近似，并不意味着非线性系统可以全局线性化。工程上，将外力写成 $b=Bu$ 后，可控性理路线性系统的可控性Controllability of a linear system · Kalman 可控性秩判据用秩与 Gramian 构造最小能量输入，再沿可达子空间分解系统，证明不可控块稳定恰好保证可稳定化。用状态转移矩阵判断输入能否到达指定终点，状态反馈理路线性状态反馈与稳定化Linear state feedback · 线性反馈稳定化用全状态反馈改变闭环谱，证明单输入可控系统的极点配置，并区分可控与可稳定。则通过 $u=-Kx$ 改变闭环矩阵。常系数、有限区间上即使 $u$ 仅平方可积，常数变易积分仍定义唯一绝对连续状态，方程几乎处处成立；这使有限输入能量成为严格的控制模型。

矩阵指数仍是本页的精确演化结构，离散时间方法怎样用放大因子近似它由绝对稳定域理路ODE 方法的绝对稳定域Absolute stability region · Region of absolute stability以标量衰减测试方程的放大因子定义一步法稳定域，并区分 A-stability、L-stability、精度与其他稳定概念。分析。若快速衰减谱尺度迫使显式方法采用远小于精度需求的步长，则进入刚性 ODE理路刚性常微分方程Stiff ordinary differential equation · Stiff ODE · Stiffness刻画快速衰减模态迫使显式方法使用远小于精度需求的步长这一方法相关现象，并说明隐式路线的能力与代价。的计算情形。高阶标量方程通过引入各阶导数作为分量化为一阶系统，因此本页理论同时覆盖振动方程等经典对象。

若常系数模型改成 $E{x}^{\prime }=Ax+f$且 $E$奇异，本页“任意初值都产生唯一解”的合同不能直接照搬。正则常系数DAE理路正则常系数微分代数系统Regular linear DAE · Constant-coefficient differential-algebraic system · Weierstrass decomposition for DAEs从可逆移位与核像分解证明正则矩阵束的微分—幂零分块，给出全部经典解和一致初值，并把外力导数损失与隐式步的误差放大写成有限证书。在矩阵束正则时用可逆左右变换恢复一个本页的微分块，同时分出强制代数块；后者由外力及其有限阶导数确定，只有微分块保留自由初值。

若目标是直接计算一个常系数传播矩阵，缩放平方算法理路矩阵指数的缩放平方算法Scaling and squaring matrix exponential用 Padé 求解和反复平方计算矩阵指数，给出可执行的十三阶核心、后向误差含义、运算计数与过度缩放反例。以矩阵有理逼近和反复平方求指数。若只需要某个初值的演化，Krylov 指数作用理路Krylov 方法计算指数作用Krylov approximation to exp(A)b将指数作用投影到小 Krylov 空间，逐维追踪扩散例，并由 ODE 缺陷推导误差传播积分和可用的收缩半群界。在小投影系统中演化，再用缺陷的传播积分检查误差；终点缺陷并不自动等于状态误差。

有限状态连续时间链的概率向量满足 $p^{\prime }(t)=p(t)Q$，但其系数还受非对角非负、行和为零的生成矩阵约束。Kolmogorov 方程理路连续时间链的 Kolmogorov 方程Kolmogorov forward and backward equations由短时间生成矩阵和半群性质推出前向与后向方程，明确行向量约定和无限状态边界。说明这些局部速率怎样组成概率半群，并提醒普通大步长 Euler 近似可能产生负概率。

常系数系统中的矩阵指数还具有群论解释：Lie 群指数映射理路Lie 群的指数映射Exponential map of a Lie group由唯一一参数子群定义指数映射，计算旋转的指数，并区分单位元附近的可逆性与全局满射性。把一个生成元送到其一参数子群在参数 $t=1$ 处的值。两个不同生成元的指数相乘时，BCH 公式理路Baker–Campbell–Hausdorff 公式Baker-Campbell-Hausdorff formula · BCH formula指数乘积的局部对数由嵌套括号组成；推导首个交换子修正，并在 Heisenberg 群中得到精确有限公式。给出局部对数的交换子修正；Heisenberg 群的幂零例子可以把这条公式精确截断。

将二阶边值问题写成状态 $(u,v)=(u,p{u}^{\prime })$，得到 $u^{\prime }=v/p,v^{\prime }=(q-\lambda w)u$。Prüfer 相角与谱计数理路Prüfer 相角、振荡与谱计数Prüfer phase and Sturm oscillation · Continuous Sturm eigenvalue count · Sturm–Liouville shooting certificate连续提升左端相角，证明参数严格单调、负无穷基准和零点编号，再以误差包围认证开闭谱计数及唯一 shooting 根。利用本页的初值唯一性排除状态过原点，再连续提升相角；对参数的变分方程给出 ${\partial }_{\lambda }\theta (b)=\rho (b{)}^{-2}{\int }_a^{b}w{u}^2>0$。这样一次初值传播可以配合阈值证明特征值编号。只计算右端残差或反三角函数主值仍不足以证明没有漏根。

当连续系数按周期重复时，Floquet理论理路Floquet理论与单周期传播Floquet theory · Floquet theorem · Floquet multipliers · 弗洛凯理论将周期线性系统拆成周期因子和指数传播，以单周期矩阵判定稳定性，区分冻结谱、平均谱与实际乘子，并检查复对数和单位圆Jordan边界。把基本矩阵的一圈传播保存为单周期矩阵；它的乘子而非冻结矩阵的瞬时谱决定长期增长。加入周期外力后，周期边值问题理路周期受迫线性ODE的相容与共振Periodic boundary-value problem for linear ODEs · Periodic forcing compatibility · 周期线性边值问题把周期响应的存在唯一性化为有限维单周期相容条件，保留共振无解与多解，给出残差转真实误差的证书，并区分周期性和吸引性。还须解一圈后的相容方程。若稳定与不稳定方向具有统一双向指数界，指数二分性理路指数二分性与全线有界响应Exponential dichotomy · Green operator for bounded ODE solutions · 指数二分的Green核用随时间移动的稳定与不稳定投影给双向指数界，构造全实线唯一有界受迫解，并提供残差、积分截断及周期系统的判定接口。可从过去和未来分别积累外力，构造全线唯一有界响应。