微积分基本定理

第一部分的差商就是短区间平均值。对 $h>0$，

从而

连续性使右侧在 $h\to 0$ 时趋于零；$h<0$ 的情形同理。因此累积面积在一个极短区间内的增长率，收敛到该点的函数高度。证明不是把积分号与导数符号形式抵消，而是用连续性控制平均值与点值的差。

第二部分把局部增量拼成端点差。取分割

在每个子区间上由中值定理理路中值定理Mean value theorem由等高端点与内部极值导出平均变化率，区分 Lagrange、Rolle、Cauchy 版本并给出可计算的增量界。选取 ${\xi }_i\in (x_{i-1},x_i)$，使

相加后，中间的 $G(x_1),\dots ,G(x_{n-1})$ 一正一负抵消，左边只剩 $G(b)-G(a)$，右边是一份带标记的 Riemann 和。因为 $G^{\prime }$ Riemann 可积，网格趋于零时所有这类和都趋于 ${\int }_a^b{G}^{\prime }$，于是得到公式。连续性与可积性分别保证局部中值和极限步骤成立。

由 $f(t)=2t$ 定义

第一部分给出 $F^{\prime }(x)=2x$ 且 $F(0)=0$。函数 $x^2$ 具有同样导数和初值，两者之差导数恒为零，因中值定理只能是常数，所以 $F(x)=x^2$。这里不是先假定积分公式再验证，而是由基本定理和原函数唯一到常数反推出公式。

第一部分的连续性可以精确放宽：若 $f$ 只是 Riemann 可积，累积函数 $F(x)={\int }_a^{x}f$ 仍连续，并在 $f$ 的每个连续点满足 $F^{\prime }(x)=f(x)$。事实上，若 $|f|\le M$，就有 $|F(y)-F(x)|\le M|y-x|$；因此即使 $f$ 有跳点，累积函数也不会跳跃。

例如固定 $a<c<b$，取阶跃函数

的累积函数可直接写成 $F(x)=0$（$a\le x\le c$）和 $F(x)=x-c$（$c<x\le b$）。在 $c$ 处，左差商为 $0$、右差商为 $1$，因此它连续却不可导。改变 $f(c)$ 的单点取值不改变积分，也无法让该折角同时拥有左右导数；因此不连续点不能无条件保留逐点等式。

第二部分也不能只写“$G$ 可导”。导函数未必 Riemann 可积；Riemann 可积性至少要求有界，并要求不连续点集合足够小。例如 $G(0)=0$、$G(x)=x^2\sin \left(1/x^2\right)$（$x\ne 0$）在 $[-1,1]$ 每点可导，但 $G^{\prime }(x)=2x\sin \left(1/x^2\right)-2\cos \left(1/x^2\right)/x$ 在零附近无界，因而不满足通常 Riemann 可积性。不能仅凭原函数存在就省掉积分存在性的检查。常见的 $G^{\prime }\in C([a,b])$ 假设更强，却便于直接应用。

在 Lebesgue 积分理路Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。中，正确边界由绝对连续性给出。若 $f\in L^1([a,b])$，则

绝对连续，并满足 $F^{\prime }=f$ 几乎处处；反过来，绝对连续的 $F$ 满足 $F^{\prime }\in L^1$ 且

仅仅连续并几乎处处可导不够。Cantor 函数从 $0$ 增长到 $1$，却几乎处处导数为 $0$；若错误地只积分这个几乎处处导数，会得到端点差 $0$。缺失的信息集中在奇异部分，而绝对连续性正好排除它。弱导数理路弱导数Weak derivative通过分部积分恒等式相对于测试函数定义的广义导数。框架中的恢复公式也需要相应的 Sobolev 或绝对连续代表条件。

若速度 $v(t)=3t^2$，位移函数

满足 $s^{\prime }=v$，而 $s(b)-s(a)={\int }_a^{b}v$ 把瞬时速度与总位移连接起来。若速度只在少数时刻跳变，Riemann 或 Lebesgue 版本仍可工作，但结论应按相应函数类解释，而不能把跳点值当作由积分唯一决定的数据。

导数理路导数Derivative函数增量比在步长趋零时的极限。描述局部变化率，Riemann 积分理路Riemann 积分Riemann integral上下和或分割和在网格细化下共同收敛所定义的积分。累计区间总量，基本定理说明在明确的正则性条件下，两者通过原函数互相恢复。对乘积求导后积分得到分部积分；对复合函数使用链式法则后积分得到变量代换。两种公式都继承基本定理的可积性和可导性要求，并非单纯移动微分符号。

Taylor 定理理路泰勒定理Taylor's theorem足够光滑函数由有限阶导数多项式加余项表示。可把函数增量写成导数的局部展开，基本定理则把导数积分成精确的全局增量；常微分方程的积分形式、守恒律以及从密度恢复累计量都依赖同一局部—整体桥梁。Lebesgue 与弱导数版本把这座桥扩展到不光滑函数，但必须用“几乎处处”和绝对连续代表重写结论。

数值微分理路数值微分中的截断—舍入权衡Numerical differentiation and roundoff · Step-size selection for finite differences以截断项和函数值舍入项的竞争解释差分误差的 U 形曲线，并据此选择步长和失败诊断。和数值求积理路数值求积问题与求积公式Quadrature rule · Numerical integration将有限次函数采样组织为积分近似，并用代数精度、误差泛函和函数访问模型刻画规则能力。只从有限采样近似连续运算。步长截断、噪声放大与舍入意味着它们不会自动成为精确逆操作；基本定理提供连续模型的目标恒等式，却不替代离散算法的误差分析。