形式陈述

微积分基本定理包含两个互补方向。

第一部分。 若 $f:[a,b]\to\mathbb R$$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 连续，定义

$$ F(x)=\int_a^x f(t)\,dt, $$$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt,$$

则 $F$$F$ 在 $(a,b)$$(a,b)$ 可导且 $F'(x)=f(x)$$F^{\prime }(x)=f(x)$；端点有相应单侧导数。

第二部分。 若 $F:[a,b]\to\mathbb R$$F:[a,b]\to \mathbb{R}$ 可导、$F'$$F^{\prime }$ Riemann 可积，则

$$ \int_a^bF'(x)\,dx=F(b)-F(a). $$$${\int }_a^b{F}^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a).$$

常见教材用更强的 $F'$$F^{\prime }$ 连续假设作为易用版本。

直觉

累积面积函数在 $x$$x$ 增加一小段 $h$$h$ 时，新增面积约为 $f(x)h$$f(x)h$，所以其导数是原函数；反过来，把瞬时变化率积分起来恢复总变化。

例子与边界

由 $f(t)=2t$$f(t)=2t$ 得 $F(x)=\int_0^x2t\,dt=x^2$$F(x)={\int }_0^{x}2tdt=x^2$。第一部分的连续性可放宽，但在不连续点未必有 $F'=f$$F^{\prime }=f$。第二部分不能只假设 $F$$F$ 可导就自动使用 Riemann 积分：导函数可能不 Riemann 可积，因此必须保留可积性条件或采用更广的积分理论。

推论与应用

基本定理把求导与定积分连接起来，导出 Newton–Leibniz 公式、变量代换和分部积分。它既是计算积分的方法，也是把局部变化率转换为全局守恒量的理论基础。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，Ch. 7。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 6。