形式陈述

设 $\Omega\subseteq\mathbb R^n$$\mathrm{\Omega }\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 开，$u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$$u\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{\Omega })$。若存在 $v\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$$v\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{\Omega })$，使对每个测试函数 $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$$\phi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ 都有

$$ \int_\Omega u\,\partial_i\varphi\,dx =-\int_\Omega v\,\varphi\,dx, $$$${\int }_{\mathrm{\Omega }}u{\partial }_i\phi dx=-{\int }_{\mathrm{\Omega }}v\phi dx,$$

则称 $v$$v$ 是 $u$$u$ 关于 $x_i$$x_i$ 的弱导数，记作 $\partial_i u=v$${\partial }_{i}u=v$。弱导数在几乎处处意义下唯一。高阶弱导数通过多重指标迭代定义。若 $u\in C^1(\Omega)$$u\in C^1(\mathrm{\Omega })$，或更一般地经典偏导数存在且局部可积并满足相应积分分部条件，则经典偏导数给出弱导数。

直觉

把导数从粗糙函数转移到光滑且紧支撑的测试函数上，便能用积分分部捕获“平均意义的变化”，无需原函数逐点可微。

例子与边界

$u(x)=|x|$$u(x)=|x|$ 在实线上零点不可微，但弱导数为 $\operatorname{sgn}(x)$$\mathrm{sgn}(x)$。阶跃函数的分布导数是 Dirac 质量，并非 $L^1_{\mathrm{loc}}$$L_{\mathrm{loc}}^1$ 函数，所以按本条函数型定义它没有弱导数；在分布理论中才允许这种导数。两个 a.e. 相等的函数具有相同弱导数。分段光滑函数若存在跳跃，其分布导数包含界面测度，通常不能仅用分段经典导数冒充弱导数。

推论与应用

弱导数使能量有限但不光滑的函数进入 PDE 理论，是 Sobolev 空间、变分法和有限元方法的基础。

参考资料

• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., American Mathematical Society, 2010，Ch. 5, weak derivatives and Sobolev spaces。
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，Ch. 8, distributions and weak derivatives。