形式陈述

在欧氏空间 $\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$ 的通常拓扑中，集合 $K$$K$ 紧致当且仅当它闭且有界：

$$ K\text{ compact}\quad\Longleftrightarrow\quad K\text{ closed and bounded}. $$$$K\text{ compact}⟺K\text{ closed and bounded}.$$

紧致可定义为每个开覆盖有有限子覆盖；在度量空间中它还等价于序列紧致。证明中，有界性把集合置于有限盒内，闭性保证极限点不逃出集合；反向则利用连续范数函数在紧集上有界以及 Hausdorff 空间中紧集闭。

直觉

有限维欧氏空间里，“不会逃向无穷远”加上“不会漏掉边界极限点”，恰好把无限集合压缩成具有有限覆盖控制的对象。

例子与边界

闭区间 $[0,1]$$[0,1]$ 紧致；$(0,1)$$(0,1)$ 有界但不闭，覆盖可逼近端点而无有限子覆盖；$[0,\infty)$$[0,\mathrm{\infty })$ 闭但无界。定理不能原样推广到任意度量空间：无限维赋范空间的闭单位球通常闭且有界却不紧。一般拓扑空间甚至未必有自然的“有界”概念。

推论与应用

Heine–Borel 把抽象紧致性转成欧氏空间中的可检验条件，进而支撑连续函数取极值、一致连续、Bolzano–Weierstrass 和数值分析中的存在性论证。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§27, compact subspaces of Euclidean space。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 2, compactness and Heine–Borel theorem。