Heine–Borel 定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

在欧氏空间 $\mathbb R^n$ 的通常拓扑中，集合 $K$ 紧致当且仅当它闭且有界：

K\text{ compact}\quad\Longleftrightarrow\quad K\text{ closed and bounded}.

紧致可定义为每个开覆盖有有限子覆盖；在度量空间中它还等价于序列紧致。证明中，有界性把集合置于有限盒内，闭性保证极限点不逃出集合；反向则利用连续范数函数在紧集上有界以及 Hausdorff 空间中紧集闭。

直觉

在有限维欧氏空间中，有界性阻止点逃向无穷，闭性把所有有限极限留在集合内；二者合起来恰好给紧致。证明可经 Bolzano–Weierstrass 抽取收敛子列，也可把闭盒子的开覆盖逐级二分。有限维是关键，因为坐标方向只有有限个，单位球不能藏入无限多彼此分离方向。

例子与边界

闭区间 $[0,1]$ 紧致； $(0,1)$ 有界但不闭，覆盖可逼近端点而无有限子覆盖； $[0,\infty)$ 闭但无界。定理不能原样推广到任意度量空间：无限维赋范空间的闭单位球通常闭且有界却不紧。一般拓扑空间甚至未必有自然的“有界”概念。

无限维 Hilbert 空间 $\ell^2$ 的闭单位球给出关键边界：标准单位向量 $e_n$ 全在球内，且任意两项距离都是 $\sqrt2$ ，因此没有收敛子列，闭且有界仍不紧。由此可见，Heine–Borel 的“闭有界”刻画依赖有限维欧氏结构，不能当作一般紧致定义。

推论与应用

实数完备性与有限维坐标结构把闭、有界条件等同于紧性。它使连续函数取得极值并在闭有界域上一致连续；在一般度量空间中应改用完备加全有界，而不能把 Heine–Borel 当作紧致定义。

参考资料

James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§27, compact subspaces of Euclidean space。
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 2, compactness and Heine–Borel theorem。