Heine–Borel 定理

有界性阻止点逃向无穷，闭性阻止有限极限掉出集合。在有限维里，空间可以按有限个坐标逐步细分；细分后的盒子越来越小，最终被覆盖中的一个开集容纳。闭与有界于是把所有局部覆盖要求压缩为有限多个。

一般度量空间可能有无限多个相隔固定距离的方向，即使全体点都位于单位球内，也不能用有限个小球覆盖。这是“有界”与“全有界”的差别，也是欧氏结论不能直接移植的原因。

二分盒子的证明骨架 ​

先证明闭盒 $Q=[-R,R{]}^n$ 紧。假定某开覆盖没有有限子覆盖，把 $Q$ 每个坐标区间二分，得到 $2^n$ 个小闭盒。至少一个仍无有限子覆盖，否则合并有限多个有限子覆盖就覆盖原盒。反复选择，得到嵌套闭盒 $Q_j$，直径趋于零。

实数完备性理路实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property定义非空有界集合具有最小上界的完备性质，并说明它如何刻画实数的序与极限结构。保证逐坐标的嵌套闭区间交于一点 $x$。覆盖中某个开集 $U$ 含 $x$，因而包含一个 $x$ 中心小球；当 $j$ 足够大，整个 $Q_j\subseteq U$，与其不能有限覆盖矛盾。闭且有界的 $K$ 是某个紧闭盒的闭子集，所以紧。

反向更直接：开球族 $\{B(0,m):m\in \mathbb{N},m\ge 1\}$ 覆盖 $K$，有限子覆盖给出一个统一半径。又因欧氏空间 Hausdorff理路Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。，紧子集必闭。也可以在度量空间中用序列紧性与逐坐标抽取子列完成证明。

闭区间 $[0,1]$ 紧。对 $(0,1)$，开覆盖 $U_m=(1/m,1)$（$m\ge 2$）没有有限子覆盖：有限选取的最大下标为 $M$ 时，并集仍为 $(1/M,1)$，漏掉 $1/(2M)$。闭射线 $[0,\mathrm{\infty })$ 则因无界不紧，覆盖 $(-1,m)$ 同样无法有限覆盖。

在 Hilbert 空间 ${\ell }^2$ 中，标准单位向量 $e_j$ 位于闭单位球，且 $\Vert e_i-e_j\Vert =\sqrt{2}$（$i\ne j$）。故它们无 Cauchy 子列，更无收敛子列，闭单位球不紧。事实上任何无限维赋范空间的闭单位球都不紧，并非只有少数反例。

环境空间不能忽略。$K=\mathbb{Q}\cap [0,1]$ 在 $\mathbb{Q}$ 中闭且有界，但趋向 $\sqrt{2}/2$ 的有理序列在 $K$ 中没有收敛子列。它在 $\mathbb{R}$ 中不闭，因此不满足定理的假设。

连续实函数在非空闭有界欧氏集合上取得最大、最小值，并且一致连续。这让约束优化中的“最优值存在”可先通过可行域闭、有界以及目标连续来保证，但这些条件并不直接给出最优点的数值算法。

在一般度量空间理路度量空间Metric space用满足正定性、对称性与三角不等式的实值距离刻画点间远近的空间。中，紧性应以“完备且全有界”刻画；在实或复有限维赋范空间中，各范数等价，Heine–Borel 的闭有界判据仍成立。需要分清拓扑紧性、度量有界性和所选环境的完备性。