正规空间 | Codeboy's Blog

形式陈述

本库采用 $T_4$ 约定：拓扑空间 $X$ 称为正规空间，若它满足$T_1$ 分离公理，并且任意两个不交闭集 $A,B\subseteq X$ 都可由不交开集分离，即存在开集 $U,V$ 使

A\subseteq U,\qquad B\subseteq V,\qquad U\cap V=\varnothing.

等价地，对每个闭集 $A$ 与包含它的开集 $W$ ，存在开集 $U$ 满足

A\subseteq U\subseteq\overline U\subseteq W.

证明时取 $B=X\setminus W$ ；反方向则对 $A,B$ 应用收缩条件并取适当补集。

本库术语固定为：

部分文献把不含 $T_1$ 的分离性质也称 regular 或 normal。引用时必须先核对约定，不能只凭名称搬运定理。

直觉

Hausdorff 分开两点，正则性分开一点与一个闭集，正规性再分开两个闭集。闭集可能无限且距离为零，逐点挑邻域再做并集通常无法保证两侧仍不相交；正规性提供的是全局、同时的分离能力。

等价的闭包收缩形式尤其有用：它允许在一个开集内部放入闭包仍不越界的较小开集。连续函数构造和延拓证明往往反复使用这种嵌套。

例子与边界

每个度量空间正规。对不交闭集 $A,B$ ，函数

f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}

在分母不为零时把 $A$ 送到 $0$ 、 $B$ 送到 $1$ ；其水平集可给出开分离。这里不要求两闭集之间的整体距离为正。

紧 Hausdorff 空间正规。Sorgenfrey 直线正规，但 Sorgenfrey 平面不正规，说明正规性不对有限乘积封闭。闭子空间继承正规性；任意子空间一般不继承。Hausdorff 或正则都不自动推出正规。

实线中的

A=\{n:n\in\mathbb N\},\qquad B=\{n+1/n:n\ge2\}

是不交闭集且集合间距离的下确界为零，仍可被不交开集分离。这说明“正规”等价于正距离是错误的，距离函数构造使用的是逐点到集合的距离。

推论与应用

由于 $T_1$ 使单点集闭，正规空间可把点与闭集分离，因此是正则空间。Urysohn 引理把两个不交闭集编码为 $[0,1]$ 值连续函数，Tietze 延拓定理把闭子集上的实值连续函数延到全空间。

正规性是这些结论的精确输入之一，但不等于可度量性。Urysohn 可度量化定理还需要可数性条件；分割单位与流形理论也会结合局部有限性、正则性或仿紧性使用，不能只从“正规”一词推出全部结论。

参考资料