正规空间

Hausdorff 分开两点，正则性分开一点与一个闭集，正规性再分开两个闭集。闭集可能无限且距离为零，逐点挑邻域再做并集通常无法保证两侧仍不相交；正规性提供的是全局、同时的分离能力。

等价的闭包收缩形式尤其有用：它允许在一个开集内部放入闭包仍不越界的较小开集。连续函数构造和延拓证明往往反复使用这种嵌套。

每个度量空间理路度量空间Metric space用满足正定性、对称性与三角不等式的实值距离刻画点间远近的空间。正规。若不交闭集 $A,B$ 都非空，函数

处处有定义：若分母为零，则 $x$ 同时属于闭集 $A$ 与 $B$，矛盾。距离函数连续，所以 $f^{-1}([0,1/3))$ 与 $f^{-1}((2/3,1])$ 给出不交开邻域。若 $A$ 或 $B$ 为空，直接用空集与全空间分离即可。这里不要求两闭集之间的整体距离为正。

紧理路紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。 Hausdorff 空间理路Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。正规。对不交的非空闭集 $A,B$，先固定 $a\in A$，逐点分离 $a$ 与 $B$ 中各点，并以 $B$ 的有限子覆盖得到不交开集 $U_a\ni a$、$V_a\supseteq B$。再以有限多个 $U_a$ 覆盖 $A$；这些 $U_a$ 的并与相应 $V_a$ 的有限交便分离 $A,B$。Sorgenfrey 直线正规，但 Sorgenfrey 平面不正规，说明正规性不对有限乘积封闭。闭子空间继承正规性；任意子空间一般不继承。Hausdorff 或正则都不自动推出正规。

实线中的

是不交闭集且集合间距离的下确界为零，仍可被不交开集分离。这说明“正规”等价于正距离是错误的，距离函数构造使用的是逐点到集合的距离。

由于 $T_1$ 使单点集闭，正规空间可把点与闭集分离，因此是正则空间理路正则空间Regular space · T3 space满足 T1，且每个点都可与不含它的闭集由不交开集分离的空间。。Urysohn 引理理路Urysohn 引理Urysohn's lemma正规空间中两个不交闭集可被连续实值函数分别映到 0 与 1。把两个不交闭集编码为 $[0,1]$ 值连续函数，Tietze 延拓定理理路Tietze 延拓定理Tietze extension theorem正规空间闭子集上的连续实值函数可连续延拓到全空间。把闭子集上的实值连续函数延到全空间。

正规性是这些结论的精确输入之一，但不等于可度量性。Urysohn 可度量化定理还需要可数性条件；分割单位与流形理论也会结合局部有限性、正则性或仿紧性使用，不能只从“正规”一词推出全部结论。

正规空间中的闭集分离与Lusin 分离定理理路Lusin 分离定理Lusin separation theorem不相交解析集可由 Borel 集分离；用不可分对的逐级细化解释闭见证为何强迫共同极限。针对不同对象。后者在 Polish 空间中分离两个不相交解析集，给的是 Borel 分隔集，未必开或闭；有理数与无理数的分离直接展示了这种边界。