形式陈述

本库采用 Hausdorff 正规空间约定：Hausdorff 空间 $X$$X$ 称正规，若任意两个不交闭集 $A,B\subseteq X$$A,B\subseteq X$ 都存在不交开集 $U,V$$U,V$，使

$$ A\subseteq U, \qquad B\subseteq V. $$$$A\subseteq U,B\subseteq V.$$

等价地，对闭集 $A$$A$ 和包含它的开集 $W$$W$，存在开集 $U$$U$ 使

$$ A\subseteq U\subseteq\overline U\subseteq W. $$$$A\subseteq U\subseteq \bar{U}\subseteq W.$$

所有度量空间正规；紧 Hausdorff 空间也正规。某些文献把不含 $T_1$$T_1$/Hausdorff 条件的纯分离性质也称 normal，比较定理时必须核对约定。

直觉

Hausdorff 性只分离两个点；正规性把这种能力提升到整个不交闭集，并能在二者之间留出开缓冲区。

例子与边界

实数轴和任意度量空间正规。Sorgenfrey 直线正规，但其平方不是正规，说明正规性不对有限积封闭。正规空间的子空间也不必正规；闭子空间会继承正规性。Hausdorff 并不蕴含正规，局部紧 Hausdorff 也不自动正规。正规性的闭集分离不同于完全正规、遗传正规和可度量性，不能因 Urysohn 引理存在就直接断言空间有度量。

推论与应用

正规性正是 Urysohn 函数和 Tietze 延拓的拓扑前提，使闭集之间能由连续实值函数柔性分离。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§31, normal spaces。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Ch. 6, normality and separation axioms。