局部紧空间

局部紧性要求每一点附近有可应用有限子覆盖原理的窗口，同时允许整个空间向无穷延伸。它不要求邻域很小就只含有限个点；闭球里可以有不可数多个点，紧性控制的是覆盖和极限行为。

邻域能继续缩小的原因是紧性与 Hausdorff 分离相配合。先取 $x\in U\subseteq K$，再在紧 Hausdorff 空间 $K$ 内用正则性理路正则空间Regular space · T3 space满足 T1，且每个点都可与不含它的闭集由不交开集分离的空间。缩小到闭包位于 $U\cap O$ 的相对开邻域。因为它位于 ${\mathrm{int}}_{X}K$ 内，亦是 $X$ 中的开集；又因 $K$ 在 $X$ 中闭，两种闭包一致。这就得到上述 $V$。

$n\ge 1$ 时，${\mathbb{R}}^n$ 中每点有紧的闭球邻域，但空间整体不紧；${\mathbb{R}}^0$ 则是紧的单点空间。任意离散空间也局部紧，因为单点既开又紧；即使点集不可数也不例外。每个紧 Hausdorff 空间自然局部紧。

$\mathbb{Q}$ 取通常子空间拓扑时不局部紧。若有紧邻域 $K$，其中包含 $(q-\epsilon ,q+\epsilon )\cap \mathbb{Q}$。选此实区间中的无理数 $\alpha$，再取该区间中趋于 $\alpha$ 的有理数列 $q_n$。它全部位于 $K$，但任何子列若在 $\mathbb{Q}$ 收敛，在 $\mathbb{R}$ 中也必须收敛于同一个无理数 $\alpha$，矛盾于紧度量空间的序列紧性。

实或复赋范空间局部紧当且仅当有限维。无限维时，Riesz 引理可在单位球中逐次选出彼此距离大于 $1/2$ 的点；这样的序列没有收敛子列。若存在紧邻域，缩放后其中包含一个闭球，便会迫使闭单位球紧，与此矛盾。

开子空间和闭子空间都继承局部紧性，任意子空间则不然，$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}$ 已给出反例。没有 Hausdorff 假设时，“有一个紧邻域”“有闭包紧邻域”“有紧邻域基”不能随意互换；阅读其他定义时须单独核对。

对于非紧 Hausdorff 空间，单点紧化理路Alexandroff 单点紧化Alexandroff one-point compactification向非紧局部紧 Hausdorff 空间添加一个无穷远点得到紧空间。成为 Hausdorff 空间的充要条件正是局部紧性。若 $x\in U\subseteq K$ 且 $K$ 紧，$U$ 与新增无穷远点的邻域 $X^{\ast }\setminus K$ 就把两点分开，显示了条件在构造中的作用。

流形理路拓扑流形Topological manifold局部同胚于欧氏空间且满足可数基与 Hausdorff 条件的空间。的坐标邻域可缩到欧氏开集中的小闭球，因此自动局部紧。分析中的连续紧支撑函数空间 $C_c(X)$ 与 Radon 测度借助这些窗口把局部估计集中在紧集上；分割单位覆盖全空间时，还需要相应的仿紧性条件。