局部紧空间

局部紧性允许空间整体无限，却要求每一点附近都能截取一个紧的“有限窗口”。这足以在局部使用极值、有限子覆盖与紧支撑函数，同时仍允许轨道或序列逃向无穷。Hausdorff 情形下，可把条件写成每点有相对紧开邻域，即开集闭包紧。

${\mathbb{R}}^n$ 局部紧但非紧；任意离散空间局部紧，因为单点紧。无限维赋范空间通常不局部紧；事实上 Hausdorff 拓扑向量空间中的局部紧性强烈迫使有限维。开子空间和闭子空间会继承局部紧性，但任意子空间未必。若不预设 Hausdorff，不同教材存在“每点有紧邻域”和“每点有闭包紧邻域”等不等价定义；本库通过加入 Hausdorff 条件消除歧义。

有理数空间 $\mathbb{Q}$ 在通常拓扑下不局部紧：任意有理开区间的闭包都含有趋向无理数的有理 Cauchy 序列，而该序列在 $\mathbb{Q}$ 中没有收敛子列。局部紧性因此不是“附近有界”这一度量直觉；有界本身也不能代替紧闭包。

紧邻域公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。定义局部紧性，在Hausdorff 空间公理库Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。中具有良好的闭包行为。单点紧化公理库Alexandroff 单点紧化Alexandroff one-point compactification向非紧局部紧 Hausdorff 空间添加一个无穷远点得到紧空间。正以它为 Hausdorff 构造条件；分析中 $C_c(X)$、Radon 测度和分割单位也借助局部紧窗口。流形自动局部紧，因为每点局部同胚于欧氏开集。