Radon 测度

Radon 测度是一种可以在有限观察窗内可靠测量的连续质量。空间即使无限大，每个紧窗口内仍只有有限质量；窗口内部可用更小紧集逼近，窗口外部可用开集包围。这使局部积分既不会立刻发散，又能随几何区域的扩缩稳定变化。

局部紧性提供足够多的紧窗口，Hausdorff 性保证紧集闭并具有良好的分离行为，正则性则让这些窗口捕捉全部 Borel 质量。三者共同把抽象测度变成可由连续紧支撑函数探测的对象。少掉其中一项，紧支撑测试函数可能太少，或紧集可能不能承担可靠的局部近似。

Radon 不等于概率。概率测度强调总质量为 $1$，Radon 强调拓扑正则与局部有限；Lebesgue 测度是 Radon 测度却不是有限测度，Dirac 概率既是概率又是 Radon。两种标签回答的是不同问题。

Lebesgue 测度 $\lambda$ 是 ${\mathbb{R}}^d$ 上的 Radon 测度：紧集在欧氏空间中闭且有界，故体积有限；Borel 集可由紧集和开集正则逼近。然而 $\lambda ({\mathbb{R}}^d)=\mathrm{\infty }$，说明 Radon 条件从未要求全局有限。

整数点上的计数

也是 $\mathbb{R}$ 上的 Radon 测度。对 $R\ge 0$，

而全空间仍有无穷质量。它展示 Radon 测度可以纯原子，也不需要相对于 Lebesgue 测度有密度。

相反，把 $\mathbb{R}$ 上每个点赋质量 $1$ 的计数测度不是 Radon 测度。任意非退化紧区间含无穷多个点，计数测度为 $\mathrm{\infty }$；事实上每个非空开邻域也有无穷质量，所以局部有限性失败。它仍是定义在 Borel 集上的正测度，“Borel”并不能代替“Radon”。

有限 Borel 测度在良好度量空间中通常自动具有 Radon 正则性，但不能把这句话无条件推广到任意拓扑空间。尤其当紧子集不足以逼近全部质量时，有限总质量也救不了紧内正则性；需要 Polish、局部紧 Hausdorff或其他保证 tightness 的空间条件。

对 Radon 测度 $\mu$，每个 $f\in C_c(X)$ 都可积，因为其支撑包含在某个紧集 $K$ 中，且

这条简单估计是局部分析的共同接口。紧支撑连续函数可以安全地测试测度，正则性又保证这些测试足以区分不同 Radon 测度。

Riesz–Markov–Kakutani 定理把 $C_c(X)$ 上的正线性泛函表示成唯一 Radon 测度；对 $C_0(X)$ 的有界泛函，则得到有限有符号或复 Radon 测度。弱收敛理论中，$C_c(X)$ 测试对应可能丢失无穷远质量的 vague 收敛，而概率测度的 $C_b(X)$ 测试还会用常数函数守住总质量。

若 $f\ge 0$ 是局部可积函数，则 $f\mu$ 仍在适当条件下给出 Radon 测度；可连续映射的推前是否仍 Radon，则要检查映射是否 proper 或推前测度是否保持局部有限，不能只凭连续性断言。例如常值映射会把无限 Radon 测度的全部质量压到一点，产生无穷点质量，不再局部有限。