Radon 测度

Radon 测度是一种可以在有限观察窗内可靠测量的连续质量。空间即使无限大，每个紧窗口内仍只有有限质量；开窗口可由内部紧集逼近，任意 Borel 集则可从外部用开集逼近。这使局部积分既不会立刻发散，又能随几何区域的扩缩稳定变化。

局部紧性提供足够多的紧窗口，Hausdorff 性保证紧集闭并具有良好的分离行为，开集的内正则性先让紧窗口捕捉开集质量，外正则性再确定全部 Borel 集。三者共同把抽象测度变成可由连续紧支撑函数探测的对象。少掉其中一项，紧支撑测试函数可能太少，或紧集可能不能承担可靠的局部近似。

Radon 不等于概率。概率测度强调总质量为 $1$，Radon 强调拓扑正则与局部有限；Lebesgue 测度是 Radon 测度却不是有限测度，Dirac 概率既是概率又是 Radon。两种标签回答的是不同问题。

对整数 $d\ge 1$，Lebesgue 测度 $\lambda$ 是 ${\mathbb{R}}^d$ 上的 Radon 测度：紧集在欧氏空间中闭且有界，故体积有限；Borel 集可由紧集和开集正则逼近。然而 $\lambda ({\mathbb{R}}^d)=\mathrm{\infty }$，说明 Radon 条件从未要求全局有限。

整数点上的计数

也是 $\mathbb{R}$ 上的 Radon 测度。对 $R\ge 0$，

而全空间仍有无穷质量。它展示 Radon 测度可以纯原子，也不需要相对于 Lebesgue 测度有密度。

相反，把 $\mathbb{R}$ 上每个点赋质量 $1$ 的计数测度不是 Radon 测度。任意非退化紧区间含无穷多个点，计数测度为 $\mathrm{\infty }$；事实上每个非空开邻域也有无穷质量，所以局部有限性失败。它仍是定义在 Borel 集上的正测度，“Borel”并不能代替“Radon”。

在第二可数的局部紧 Hausdorff 空间上，每个紧有限的 Borel 测度都是 Radon；因此实线上的局部有限测度可以直接使用这个版本。Polish 空间上的有限 Borel 测度也有紧逼近性质，但若空间不局部紧，应称其为紧概率或注明采用更广的 Radon 术语，不能省略本页的环境约定。

开集内正则不能换成全部 Borel 集内正则 ​

令 $I$ 不可数，取互不相交的实线组成 $X=I\times \mathbb{R}$，其中 $I$ 为离散空间。记 $A_i=\{t:(i,t)\in A\}$。对 Borel 集定义

其中 $\lambda$ 是实线 Lebesgue 测度。可数并若碰到不可数多个分量，至少有一项已如此；其余情形则归结为可数个分量的测度求和，故 $\mu$ 可数可加。

紧集只碰到有限多个分量，所以 $\mu$ 紧有限。开集在每个碰到的分量中都有正长度；它的质量可由有限多个分量中的紧子集逼近。外正则性则在可数分量上逐一选开覆盖并分配可求和误差预算；碰到不可数分量时，任何开覆盖的质量都为无穷。因此 $\mu$ 满足本页的 Radon 定义。

但闭集 $E=I\times \{0\}$ 有 $\mu (E)=\mathrm{\infty }$，每个紧子集却只含有限个点，质量为零。它不满足全部 Borel 集的紧内正则性。另一方面，若始终用分量 Lebesgue 质量的有限部分和上确界定义 $\rho (A)=\sum _i\lambda (A_i)$，则 $\rho (E)=0$，却每个包含 $E$ 的开集都有无穷质量，所以 $\rho$ 不外正则。两测度对所有紧支撑连续函数给出同样的积分，正好说明表示定理必须指定采用哪种正则性。

对 Radon 测度 $\mu$，每个 $f\in C_c(X)$ 都可积，因为其支撑包含在某个紧集 $K$ 中，且

这条简单估计是局部分析的共同接口。紧支撑连续函数可以安全地测试测度，正则性又保证这些测试足以区分不同 Radon 测度。

Riesz–Markov–Kakutani 定理把 $C_c(X)$ 上的正线性泛函表示成唯一 Radon 测度；对 $C_0(X)$ 的有界泛函，则得到有限有符号或复 Radon 测度。弱收敛理论中，$C_c(X)$ 测试对应可能丢失无穷远质量的 vague 收敛，而概率测度的 $C_b(X)$ 测试还会用常数函数守住总质量。

在第二可数局部紧 Hausdorff 空间上，若非负 Borel 函数 $f$ 对每个紧集都可积，则 $f\mu$ 是紧有限的 Borel 测度，因而仍为 Radon。连续映射的推前则需另作检查；例如两个局部紧 Hausdorff 空间之间的 proper 连续映射（紧集的逆像紧）会保持本页的 Radon 性，任意连续映射却没有这个保证。例如常值映射会把无限 Radon 测度的全部质量压到一点，产生无穷点质量，不再局部有限。