正则 Borel 测度

Borel 集由可数次集合运算生成，外形可能远比开集或紧集复杂。正则性说，测度值仍能由几何上可控制的两侧夹住：开集给出稍微放宽的外壳，紧集给出留在内部的核心。把两者的质量差压到任意小，就能在不逐点描摹复杂边界的情况下确定 $E$ 的大小。

开集适合做外逼近，因为它们允许局部扰动；紧集适合做内逼近，因为开覆盖可压缩成有限子覆盖，连续函数也能在其上统一控制。正则性由此成为拓扑与积分之间的翻译层：证明可以先在紧集或开集上完成，再把误差送到零，扩展到全部 Borel 集。

“Borel”与“正则”承担不同任务。前者只说明测度的定义域是由拓扑生成的 $\sigma$-代数，后者才说明质量尊重拓扑逼近。一个集合是 Borel 集，并不凭名称保证任意 Borel 测度都能用紧集逼近；该保证来自空间与测度的附加性质。

Lebesgue 测度在 $\mathbb{R}$ 的 Borel $\sigma$-代数上的限制是正则的。以 $E=(0,1)$ 为例，紧集

从内部给出 $\lambda (K_n)=1-2/n\uparrow 1$；开集

从外部给出 $\lambda (U_n)=1+2/n\downarrow 1$。对任意 Borel 集，正则性把这种区间夹逼推广为紧核与开壳的逼近。

Dirac 测度 ${\delta }_x$ 也正则。若 $x\in E$，紧单点 $\{x\}\subseteq E$ 已取得质量 $1$；若 $x\notin E$，内逼近的质量上确界为 $0$。在 Hausdorff 空间中单点闭，外逼近同样符合直觉。

完成化需要单独辨认。Lebesgue 测度通常定义在 Lebesgue $\sigma$-代数上，其中包含 Borel 零集的所有子集；这些子集未必是 Borel 集，所以完成后的测度严格说不是“定义在 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 上的 Borel 测度”。它仍有相应的正则逼近性质，但不能把定义域差异悄悄抹掉。

在一般拓扑空间中，外正则性不自动推出紧内正则性；用闭集逼近也不必等价于用紧集逼近。若空间缺少良好分离性或测度不满足局部有限性，紧集可能太少，无法携带原测度的质量。这正是定理通常明确加入度量、Polish 或局部紧 Hausdorff 条件的原因。

对有限正则 Borel 测度，两个测度若在所有开集上一致，就在所有 Borel 集上一致：先用开集外逼近有限质量集合，再控制误差即可。类似地，在局部紧 Hausdorff 空间中，知道紧集上的值并结合正则性，往往足以确定局部有限测度。正则性因此把不可数的 Borel 结构压缩到更有几何意义的测试类。

连续函数积分也依赖这种逼近。紧支撑函数先在紧集上提供上下界，开集外壳再把边界误差隔离；Riesz–Markov–Kakutani 表示定理正借此从正线性泛函重建测度。概率论中，Polish 空间上的 Borel 概率测度具有紧逼近性质，这使紧性、弱收敛与 Prokhorov 定理能够共同运作。

加入“每个紧集质量有限”并把环境固定为局部紧 Hausdorff 空间，便得到本库采用的Radon 测度公理库Radon 测度Radon measure · 拉东测度局部紧 Hausdorff 空间上对紧集有限且具有内外正则性的 Borel 测度。约定。正则性负责逼近，紧有限性负责让局部积分和紧支撑测试函数真正取有限值，两者不可互相替代。