度量诱导拓扑

距离告诉我们相隔多远，拓扑只记录在一点附近哪些集合仍有足够余地。诱导拓扑保留连续性、邻域与收敛，却忘掉具体长度以及不同地点之间能否使用统一误差尺度。

两度量 $d,\rho$ 生成同一拓扑，当且仅当它们的小球可以在每一点相互细化：每个 $d$ 球含一个同中心 $\rho$ 球，反向也成立。细化半径可以依赖中心，不必有适用于整个空间的一组固定比例常数。

实线上 $d(x,y)=|x-y|$ 与 $\rho (x,y)=min\{1,|x-y|\}$ 生成同一通常拓扑，因为所有小于 $1$ 的球完全相同。后者有界，前者无界，故有界性不能仅从拓扑读取。

另一个度量 $\sigma (x,y)=|\arctan x-\arctan y|$ 也生成通常拓扑：$\arctan$ 把实线同胚到开区间 $(-\pi /2,\pi /2)$。序列 $x_n=n$ 对 $\sigma$ 是 Cauchy 序列，因为 $\arctan n$ 收敛；它在实线却没有极限，所以 $\sigma$ 不完备。标准度量 $d$ 完备，而两者仍具有相同的收敛序列与极限。这区分了 Cauchy 性和已经存在极限的收敛性。

离散度量在不同点之间取值 $1$，半径 $1/2$ 的球是单点，故诱导离散拓扑。并非任意拓扑都可这样获得：度量空间中不同点可用半径小于它们距离一半的球分开，因此必 Hausdorff；至少含两点的平凡拓扑不满足这一点，因而不可度量化。

开球理路开球Open ball用严格距离余量定义局部邻域；说明开球的开放性、相对空间，以及开球闭包与闭球的区别。构成拓扑基理路拓扑基Basis for a topology通过覆盖与局部交细化条件生成全部开集的局部模板族。；固定一点只取半径 $1/n$ 就给可数邻域基，所以度量空间总是第一可数理路第一可数空间First-countable space每一点都有可数邻域基的拓扑空间。。但不可数离散空间也是度量空间，却不是第二可数，不能把两种可数性混淆。

两个度量空间之间的拓扑连续性与逐点的 $\epsilon$–$\delta$ 连续性相同，因为目标开球可以作为全部邻域的测试集合。度量空间也满足 Hausdorff 与正规分离公理；需要讨论 Lipschitz 常数、Cauchy 序列或收敛速率时，则必须保留原度量，而不能只引用这些拓扑性质。