度量诱导拓扑

度量通过开球规定哪些点在每个尺度上可被同时包含，拓扑只保留这些邻近集合，忘掉具体距离数值。不同度量可以产生完全相同的开集公理库开集Open set拓扑中被指定为开放的子集，是邻域、连续性与局部构造的基本单位。，因此拓扑等价比等距弱得多。判断同一拓扑常证明两套开球可相互局部细化，而不是比较距离是否相等。

欧氏距离诱导实数和欧氏空间的通常拓扑。不同度量可以诱导同一拓扑；并非每个拓扑都来自某个度量，可度量化需要额外条件。

在 $\mathbb{R}$ 上，$d(x,y)=|x-y|$ 与 $\rho (x,y)=min\{1,|x-y|\}$ 诱导同一通常拓扑，尽管第二个度量有界。离散度量 $d(x,y)=1$（$x\ne y$）使半径小于一的球为单点，诱导离散拓扑。度量 $|\arctan x-\arctan y|$ 也给实线通常拓扑，但其完备性与标准度量不同，说明完备并非只由拓扑决定。

度量空间公理库度量空间Metric space用满足正定性、对称性与三角不等式的实值距离刻画点间远近的空间。的开球公理库开球Open ball与中心距离小于给定正半径的全部点组成的集合。生成拓扑基公理库拓扑基Basis for a topology通过覆盖与局部交细化条件生成全部开集的局部模板族。，得到度量拓扑。其中拓扑收敛公理库拓扑空间中的收敛Convergence in a topological space · Net convergence网最终进入候选极限的每个邻域时所定义的一般拓扑收敛。等价于距离趋零，第一可数公理库第一可数空间First-countable space每一点都有可数邻域基的拓扑空间。、Hausdorff公理库Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。 与正常性自动成立。分析性质若涉及具体速率、Cauchy 或 Lipschitz，需要保留度量；只涉及开集与连续性时可降到拓扑层。