形式陈述

给定度量空间 $(X,d)$$(X,d)$，令

$$ \tau_d=\{U\subseteq X:\forall x\in U,\ \exists\varepsilon>0,\ B_\varepsilon(x)\subseteq U\}. $$$${\tau }_d=\{U\subseteq X:\mathrm{\forall }x\in U,\mathrm{\exists }\epsilon >0,B_{\epsilon }(x)\subseteq U\}.$$

则 $\tau_d$${\tau }_d$ 满足拓扑公理，称为 $d$$d$ 诱导的拓扑。

直觉

距离告诉我们每个点附近有哪些小球；把所有由小球局部覆盖的集合视为开放，就只留下“邻近”信息。

例子与边界

欧氏距离诱导实数和欧氏空间的通常拓扑。不同度量可以诱导同一拓扑；并非每个拓扑都来自某个度量，可度量化需要额外条件。

推论与应用

度量收敛与拓扑收敛一致，度量连续与开集逆像定义一致，从而连接分析和拓扑两套语言。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., §20.
• Ryszard Engelking, General Topology, revised ed., §4.4.