开球

开球把距中心小于某尺度的所有点收集起来，是度量转化为局部拓扑的基本探针。半径与中心不同的球可以表示同一集合，球的几何形状也随度量改变；“球”不必像欧氏圆。任意开集是开球的并，但一般不必恰好是一个球。

在 $\mathbb{R}$ 的通常距离下，$B_r(x)=(x-r,x+r)$；在离散度量下，$0<r\le 1$ 时 $B_r(x)=\{x\}$。闭球不一定等于开球的闭包：在离散度量中，$\overline{B_1(x)}=\{x\}$，而闭球 ${\bar{B}}_1(x)=X$。

球的形状取决于度量。在 ${\mathbb{R}}^2$ 的上确界度量中，开球是轴对齐正方形；在 ${\ell }^1$ 度量中则是菱形。任意开集都可写成开球的并，但通常不是单个开球，例如通常实线中的两个不交开区间。

度量公理库度量空间Metric space用满足正定性、对称性与三角不等式的实值距离刻画点间远近的空间。定义开球，全体开球构成拓扑基公理库拓扑基Basis for a topology通过覆盖与局部交细化条件生成全部开集的局部模板族。并产生度量拓扑公理库度量诱导拓扑Metric topology · Topology induced by a metric度量空间的开球生成一个拓扑，把数值距离转化为纯拓扑结构。。收敛、连续和局部紧性都可改写为球半径条件；柯西性与完备性也由球的尺度控制。两个不同度量可能生成同一拓扑，却给出不同形状的球，甚至具有不同的柯西序列，因此“距离结构相同”比“拓扑结构相同”更强。覆盖数与 packing 数进一步用有限多个球刻画全有界性和维数，算法中的邻域搜索也依赖具体度量，而不仅是其拓扑。