形式陈述

设 $(X,d)$$(X,d)$ 为度量空间，$x\in X$$x\in X$，$r>0$$r>0$。以 $x$$x$ 为中心、半径为 $r$$r$ 的开球定义为

$$ B_r(x)=\{y\in X:d(x,y)<r\}. $$$$B_r(x)=\{y\in X:d(x,y)<r\}.$$

相应的闭球为 $\overline B_r(x)=\{y:d(x,y)\le r\}$${\bar{B}}_r(x)=\{y:d(x,y)\le r\}$。全部开球的任意并构成由 $d$$d$ 诱导的拓扑；等价地，集合 $U\subseteq X$$U\subseteq X$ 开，当且仅当每个 $x\in U$$x\in U$ 都包含于某个满足 $B_r(x)\subseteq U$$B_r(x)\subseteq U$ 的开球中。

直觉

开球把“允许离中心移动但仍小于给定误差”的点收集起来。度量只负责比较距离，球的形状由度量决定，不必是欧氏空间中的圆盘或球体。

例子与边界

在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 的通常距离下，$B_r(x)=(x-r,x+r)$$B_r(x)=(x-r,x+r)$；在离散度量下，$0<r\le1$$0<r\le 1$ 时 $B_r(x)=\{x\}$$B_r(x)=\{x\}$。闭球不一定等于开球的闭包：在离散度量中，$\overline{B_1(x)}=\{x\}$$\overline{B_1(x)}=\{x\}$，而闭球 $\overline B_1(x)=X$${\bar{B}}_1(x)=X$。

推论与应用

开球是度量拓扑的局部基，也是定义序列收敛、连续性、柯西性和完备性的基本工具。改变度量可能改变球，却可能保持同一拓扑；因此“距离结构相同”比“拓扑结构相同”更强。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§20。
• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，§8.2。