开球

开球是“误差小于某个容限”的几何表达。它不一定圆，也不一定长得像实心区域：如果距离来自字符串编辑次数，球里是有限步修改能到达的字符串；如果空间本身只有孤立点，球可以只是一个点。

开球为什么是开集 ​

若 $y\in B(x,r)$，令 $\epsilon =r-d(x,y)>0$。任取 $z\in B(y,\epsilon )$，由三角不等式，

于是 $B(y,\epsilon )\subseteq B(x,r)$。球内每一点都有一份正的距离余量，可以再容纳一个完全留在原球内的小球；这正是度量拓扑中开集理路开集Open set拓扑中被指定为开放的子集，是邻域、连续性与局部构造的基本单位。的局部条件。

同理，若 $y$ 同时属于 $B(x,r)$ 和 $B(z,s)$，取

便有 $B(y,\epsilon )$ 包含在两球的交中。这个“交可以逐点细化”的性质，使全部开球成为拓扑基理路拓扑基Basis for a topology通过覆盖与局部交细化条件生成全部开集的局部模板族。。

同一平面，三种球 ​

实线上的通常距离给出 $B(x,r)=(x-r,x+r)$。平面上，以原点为中心的单位球取决于度量：

形状不同，生成的开集却相同。例如 $\Vert u{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert u{\Vert }_2\le \sqrt{2}\Vert u{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$，直接给出

假如一点周围装得下半径 $r$ 的欧氏球，就也装得下半径 $r/\sqrt{2}$ 的最大值度量球；反向用右侧包含关系。这样，两种距离的“能装下小球”判据完全一致。曼哈顿距离再由 $\Vert u{\Vert }_2\le \Vert u{\Vert }_1\le \sqrt{2}\Vert u{\Vert }_2$ 作同样比较。比较拓扑时允许调整半径，不能把三个同半径的球直接当成同一集合。

“开”相对于哪个空间 ​

取 $X=[0,1]$，使用从实线继承的距离，则

它在 $X$ 中开，虽然在 $\mathbb{R}$ 中不开。原因不是零点突然多出了左边邻居，而是球只收集 $X$ 中的点：$B_X(x,r)=X\cap B_{\mathbb{R}}(x,r)$。讨论端点是否属于开集时，先确定环境空间，比看区间括号更可靠。

开球的闭包未必等于闭球 ​

离散度量规定：相同点距离为 $0$，不同点距离为 $1$。此时

当 $X$ 至少有两个点时，$B(x,1)=\{x\}$ 已经是闭集，故其闭包仍是 $\{x\}$；而 $C(x,1)=X$。所以闭包与闭球确实不同，开集也可以同时是闭集。

一般总有闭包理路内部、闭包与边界Interior, closure, and boundary集合的最大开子集、最小闭超集及二者确定的边界。包含关系 $\mathrm{cl}(B(x,r))\subseteq C(x,r)$：球外满足 $d(x,y)>r$ 的点，可以用半径 $d(x,y)-r$ 的小开球与闭球分离，因而不可能是开球的闭包点。这里还顺便证明了闭球确实是闭集。

在整个赋范向量空间理路赋范向量空间Normed vector space带满足正定、齐次与三角不等式范数的向量空间。中，正半径时二者相等。若 $\Vert y-x\Vert =r$，则 $y_k=x+(1-1/k)(y-x)$ 位于开球内并趋于 $y$；径向逼近补上了球面。一般度量空间没有这样的线段结构，不能照搬这个证明。

球不保证连通 ​

令 $X=\{-1,1\}\subset \mathbb{R}$，则 $B_X(-1,3)=X$，这是不连通的两点空间。向量空间中范数球的凸性依赖向量加法与范数性质，不是任意度量球自带的性质。反过来，两个不交开区间的并虽是开集，也不是实线上的一个球。

度量诱导拓扑理路度量诱导拓扑Metric topology · Topology induced by a metric度量空间的开球生成一个拓扑，把数值距离转化为纯拓扑结构。中的开集恰好是开球的任意并。这把“研究所有开集”变成“检查每个点附近是否装得下小球”。序列 $x_n\to x$ 则表示：对每个 $r>0$，最终所有 $x_n$ 都在 $B(x,r)$ 中；$r$ 可以任意小，所需的起始下标可以随 $r$ 改变。

在数值误差、邻域搜索和覆盖数中，具体半径仍然重要。两个度量即使生成同一拓扑，也未必给出相同的 Cauchy 性质或完备性。因此，“有哪些点算附近”与“误差是多少、是否统一变小”是相连但不同的两层信息。