形式陈述

集合 $X$$X$ 的子集族 $\mathcal B$$\mathcal{B}$ 称为一个拓扑基，若：

1. 每个 $x\in X$$x\in X$ 至少属于某个 $B\in\mathcal B$$B\in \mathcal{B}$；
2. 若 $x\in B_1\cap B_2$$x\in B_1\cap B_2$ 且 $B_1,B_2\in\mathcal B$$B_1,B_2\in \mathcal{B}$，则存在 $B_3\in\mathcal B$$B_3\in \mathcal{B}$ 使 $x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2$$x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2$。

由 $\mathcal B$$\mathcal{B}$ 生成的拓扑由所有基元素的并组成。对既定拓扑 $\tau$$\tau$，$\mathcal B\subseteq\tau$$\mathcal{B}\subseteq \tau$ 是基，当且仅当每个开集 $U$$U$ 及每个 $x\in U$$x\in U$ 都含有 $x\in B\subseteq U$$x\in B\subseteq U$ 的 $B\in\mathcal B$$B\in \mathcal{B}$。

直觉

拓扑可能包含极多开集，但只需给出足够细的“标准局部块”，其任意并即可恢复全部开集。基因而是拓扑的局部词汇表。

例子与边界

$\mathbb R$$\mathbb{R}$ 中所有开区间构成通常拓扑的基；只取有理端点的开区间仍是基，并且是可数的。任意开覆盖不自动成为基，因为两个基元素交叠处还必须能被更小基元素局部细化。子基只要求其有限交生成一个基，是不同概念。

推论与应用

拓扑基用于构造积拓扑、度量拓扑与流形坐标邻域，也把连续性检查化为只检查目标空间的基开集逆像。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§13。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Chapters 2–3。