拓扑基

拓扑基是一套标准局部窗口。全部开集可能数量庞大，但每个开集在每一点附近都能由一个基元素贴合，因此开集只是这些窗口的任意拼接。

交细化条件负责让两个局部描述兼容。若一点同时落在两种窗口里，必须还能在交内找到第三个窗口；否则“由窗口任意并得到的集合”可能对有限交不封闭。

基不是空间的唯一坐标表。不同基可以生成同一拓扑，选择哪一组取决于证明目标：度量球适合距离估计，有理端点区间适合可数性，有限坐标柱集适合积空间。

$\mathbb{R}$ 中所有开区间构成通常拓扑的基。只保留有理端点区间

仍是基：任给 $x\in (a,b)$，可取有理数 $a<p<x<q<b$。这组基可数，从而揭示通常实线的第二可数性。

度量空间中的全部开球构成基。球的交不必还是一个球，但对每个 $z\in B_r(x)\cap B_s(y)$，取半径小于

的 $z$ 中心球，就能落在交内。基公理要求局部细化，并不要求基对交运算整体封闭。

半开区间 $[a,b)$ 构成 Sorgenfrey 线的基。它生成的拓扑严格细于通常实线拓扑：每个通常开区间可由半开区间拼出，而 $[a,b)$ 通常不开放。改变基元素的局部方向会改变整套收敛与分离结构。

只取 $\{(-n,n):n\ge 1\}$ 时，它覆盖实线，且两个成员的交仍是其中较小者，所以确实是某个拓扑的基。但它不是通常拓扑的基：在点 $0$ 处，没有任何成员能细化到 $(-1/2,1/2)$ 内。它生成的拓扑只有空集、这些居中区间和整个实线，严格粗于通常拓扑。这里失败的是对指定拓扑的细化判据，而不是抽象基的两条公理。

任意积空间的标准基由只限制有限多个坐标的柱集组成。这种有限性不是书写方便：若允许每个坐标都取任意开子集，生成的是通常更细的箱拓扑。

商映射下，原空间基元素的像未必开放，也未必构成商空间的基。只有饱和开集才可通过商投影的逆像判据下降；把“取像”当作所有拓扑构造的统一规则会丢掉这一约束。

检查映射 $f:X\to Y$ 的连续性理路拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。时，只要对 $Y$ 的一个基 $\mathcal{B}$ 验证 $f^{-1}(B)$ 在 $X$ 中开。若还给 $X$ 选定基，则可把点态判据写成：每当 $f(x)\in B_Y$，存在 $x\in B_X$ 且 $f(B_X)\subseteq B_Y$。

比较同一集合上的两套拓扑时，也可逐基元素细化。若 ${\mathcal{B}}_1$ 的每个元素在每一点附近都含一个 ${\mathcal{B}}_2$ 元素，则 ${\tau }_{{\mathcal{B}}_1}\subseteq {\tau }_{{\mathcal{B}}_2}$；双向细化便证明两套基生成同一拓扑。

第二可数性理路第二可数空间Second-countable space存在可数拓扑基的拓扑空间。要求存在可数全局基，第一可数性理路第一可数空间First-countable space每一点都有可数邻域基的拓扑空间。只要求每点各有可数局部基。前者必推出后者；不可数离散空间每点都有单点局部基，却不可能拥有可数全局基。

子空间的基可由 $B\cap Y$ 构成，积拓扑的基可由有限坐标基元素构成。这些继承公式使复杂空间的局部结构可以直接从因子或母空间读取，而无须重新枚举全部开集。