第二可数空间

第二可数性要求全空间的所有开集都可由一个可数基拼出，是一种全局规模控制。空间即便有不可数多个点，仍可能只需可数种基本局部形状；实线的有理端点区间就是例子。它比每点各有可数邻域基更强，并排除不可数多个彼此分离开块等过大的拓扑。

${\mathbb{R}}^n$ 的有理中心、有理半径开球构成可数基。任意可数离散空间第二可数；不可数离散空间不是第二可数，因为每个单点开集都必须含唯一能细化它的基元素。可分度量空间第二可数，但一般拓扑中可分不蕴含第二可数；第一可数也不蕴含第二可数。第二可数的子空间仍第二可数；连续开满射的像也第二可数。任意商映射的基元素像未必开，因此一般商空间不能仅凭“取基的像”断言第二可数，且分离性质也可能丢失。

不可数个实线的拓扑不交并中，每个点仍有可数邻域基，所以空间第一可数；但每个分量都是非空开集，任何拓扑基都必须为每个分量提供至少一个不同的基元素，因而不可能可数。这直接展示第一可数不蕴含第二可数。

拓扑基公理库拓扑基Basis for a topology通过覆盖与局部交细化条件生成全部开集的局部模板族。可数便得到第二可数性，它自动推出第一可数性公理库第一可数空间First-countable space每一点都有可数邻域基的拓扑空间。、Lindelöf 性与可分性。拓扑流形公理库拓扑流形Topological manifold局部同胚于欧氏空间且满足可数基与 Hausdorff 条件的空间。加入此条件以获得可数图册、可数紧穷竭和分割单位；子空间与可数积通常保留第二可数性，而任意商或不可数积则需另查。