第二可数空间

第一可数允许每个点各备一套邻域清单，清单合起来可以不可数。第二可数要求整个空间共用一套可数清单，任意局部要求都能在其中找到更小的开集。这种全局控制同时约束覆盖、稠密集和互不相交的开区域。

可数基仍能生成不可数多个开集，因为形成开集时可以从基中任意选取子族再取并。它限制的是描述开集所需的基本材料，不是空间点数或开集数量。

在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，有理中心、有理正半径的开球组成可数基。具体地，若 $x\in U$ 且 $B(x,\epsilon )\subseteq U$，先选有理中心 $q$ 使 $d(x,q)<\epsilon /3$，再选有理数 $r$ 满足

三角不等式给出 $x\in B(q,r)\subseteq U$。同一证明把有理中心换成任意可数稠密集，说明可分度量空间理路度量空间Metric space用满足正定性、对称性与三角不等式的实值距离刻画点间远近的空间。第二可数。

离散空间的每个单点都是开集，因此任何基都必须包含全部单点集。于是可数离散空间第二可数，不可数离散空间虽第一可数却非第二可数。不可数个实线的拓扑不交并提供非离散版本：每点仍有区间局部基，但每个开分量都需要至少一个不同的基元素。

一般拓扑中，可分性不能反推第二可数性。Sorgenfrey 直线以 $[a,b)$ 为基，有理数仍稠密；但对任意拓扑基，为每个 $x$ 选 $x\in B_x\subseteq [x,x+1)$，便有 $inf{B}_x=x$，不同 $x$ 必给出不同的 $B_x$。所以这组基不可能可数。

第二可数空间是 Lindelöf 的。给定开覆盖，对每个被某个覆盖成员包含的基元素 $B$，选一个这样的成员 $U_B$。这些 $U_B$ 至多可数，而且覆盖全空间，因为每个点都能先落在某个覆盖成员内，再由基细化。另从每个非空基元素选一点，就得到可数稠密集；这种选取采用通常集合论中的可数选择。

子空间继承第二可数性：把基元素与子空间相交即可。可数积在积拓扑下也继承它，因为基本开集只约束有限多个坐标。连续开满射的像可取基元素的像作基；一般商映射未必开，不能沿用这一论证来断言其商第二可数。

拓扑流形理路拓扑流形Topological manifold局部同胚于欧氏空间且满足可数基与 Hausdorff 条件的空间。的第二可数条件使局部坐标图能缩为可数图册；配合局部紧性可得到可数紧穷竭。在光滑流形上，它还参与推出仿紧性，进而支持分割单位，不能把这些结论全归于可数性一个条件。