形式陈述

拓扑空间 $X$$X$ 称第二可数，若其拓扑存在可数基 $\mathcal B$$\mathcal{B}$：每个开集都可写成 $\mathcal B$$\mathcal{B}$ 中元素的并。第二可数空间必第一可数，因为包含点 $x$$x$ 的基元素构成可数局部基；它也必 Lindelöf。若空间非空，选取每个非空基元素中的一点可得可数稠密集，因此第二可数蕴含可分（这里使用可数选择的常见形式）。

直觉

第二可数性用一个全空间共享的可数“词汇表”描述所有开集，比每点各自有可数刻度更强。

例子与边界

$\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$ 的有理中心、有理半径开球构成可数基。任意可数离散空间第二可数；不可数离散空间不是第二可数，因为每个单点开集都必须含唯一能细化它的基元素。可分度量空间第二可数，但一般拓扑中可分不蕴含第二可数；第一可数也不蕴含第二可数。第二可数的子空间仍第二可数；连续开满射的像也第二可数。任意商映射的基元素像未必开，因此一般商空间不能仅凭“取基的像”断言第二可数，且分离性质也可能丢失。

推论与应用

第二可数性保证流形和许多分析空间具有可管理的全局拓扑，导出可数图册、Lindelöf 性和可分性，并排除过大的离散结构。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§30, second countability, separability and Lindelöf property。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Ch. 5, countability axioms。