形式陈述

设 $X$$X$ 为拓扑空间、$x_0\in X$$x_0\in X$。以 $x_0$$x_0$ 为起终点的环路按保持端点的路径同伦取等价类。以连接为乘法、反向路径为逆元，所得群称基本群：

$$ \pi_1(X,x_0)=\{[\gamma]:\gamma(0)=\gamma(1)=x_0\}. $$$${\pi }_1(X,x_0)=\{[\gamma ]:\gamma (0)=\gamma (1)=x_0\}.$$

连接需先作线性重新参数化；结合律在同伦类上成立，常值环路给单位元。若 $x_0,x_1$$x_0,x_1$ 由路径 $\eta$$\eta$ 连接，则共轭路径给出同构 $\pi_1(X,x_0)\cong\pi_1(X,x_1)$${\pi }_1(X,x_0)\cong {\pi }_1(X,x_1)$，但该同构依赖路径，通常只在内自同构意义下自然。

直觉

基本群记录从基点出发的闭合路径能否连续收缩，以及不同“绕洞方式”如何依次组合。

例子与边界

$\pi_1(S^1,1)\cong\mathbb Z$${\pi }_1(S^1,1)\cong \mathbb{Z}$，整数是绕圆的有向次数；$\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$ 和任何凸集的基本群平凡。定义不要求 $X$$X$ 路径连通，只研究基点所在的路径分量。平凡基本群不代表空间可缩，也不能单独分类所有空间；例如高维球面 $S^n$$S^n$（$n\ge2$$n\ge 2$）基本群平凡但不收缩为一点。

推论与应用

基本群用于检测洞、证明空间不同胚、分类覆盖空间，并借 van Kampen 定理从子空间拼接计算。连续映射诱导群同态，使它成为同伦不变量和函子。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，§1.1, fundamental group and change of basepoint。
• John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, 2nd ed., Springer, 2011，Ch. 7, fundamental groups and induced homomorphisms。