基本群

基本群把从基点出发又回来的回路按端点固定同伦公理库同伦Homotopy在连续参数下把一个连续映射变形成另一个连续映射。分类，乘法是先后走两条回路。可收缩回路成为单位元，反向行走给逆元；不同绕行次序可能不可交换，因此它不仅看见一维洞，还记录这些洞如何相互缠绕。

${\pi }_1(S^1,1)\cong \mathbb{Z}$，整数是绕圆的有向次数；${\mathbb{R}}^n$ 和任何凸集的基本群平凡。定义不要求 $X$ 路径连通，只研究基点所在的路径分量。平凡基本群不代表空间可缩，也不能单独分类所有空间；例如高维球面 $S^n$（$n\ge 2$）基本群平凡但不收缩为一点。

平面去掉两个点后可形变收缩到两个圆的楔和，因此基本群是二生成元自由群公理库自由群Free group · 自由群构造除群公理强制的逆元约消外不带任何关系，并由生成集映射的唯一延拓刻画的群。 $F_2$。分别绕两个孔的回路 $a,b$ 一般满足 $ab\ne ba$，而在一阶同调中它们会交换，说明基本群保留了更细的路径组合次序。

端点固定同伦把基点回路组成群公理库群Group配备结合二元运算、单位元，并且每个元素都有逆元的集合。，连续映射把回路送到回路并函子性地诱导群同态。Seifert–van Kampen 定理公理库Seifert–van Kampen 定理Seifert–van Kampen theorem把空间开覆盖的基本群通过推送结构组合为整体基本群。从开覆盖计算其群表示，覆叠空间公理库覆叠空间Covering space连续满射在底空间每一点邻域上分解为若干互不相交的同胚片。的提升与基本群子群对应，万有覆叠公理库万有覆叠Universal covering space总空间单连通的覆叠空间，在标准局部条件下支配所有连通覆叠。的 deck 群在标准条件下恢复基本群。它可区分许多同调无法区分的非交换一维结构。