形式陈述

给定生成元集合 $S$$S$，自由群 $F(S)$$F(S)$ 可具体实现为字母表 $S\sqcup S^{-1}$$S\bigsqcup S^{-1}$ 上的有限约化词，乘法为连接后消去相邻逆元。给定关系词集合 $R\subseteq F(S)$$R\subseteq F(S)$，群呈示定义为

$$ \langle S\mid R\rangle=F(S)/\langle\!\langle R\rangle\!\rangle, $$$$⟨S\mid R⟩=F(S)/⟨⟨R⟩⟩,$$

其中 $\langle\!\langle R\rangle\!\rangle$$⟨⟨R⟩⟩$ 是包含 $R$$R$ 的最小正规子群。关系 $r=1$$r=1$ 使 $r$$r$ 及其所有共轭在商中变为单位元。自由幺半群提供未约化词的语法；加入形式逆元并按约化规则取商才得到自由群，而再除以关系的正规闭包才给出正确的群商。呈示具有泛性质：满足全部关系的生成元像唯一诱导出从该呈示群的同态。

直觉

呈示像用“字母表 + 方程”描述群：先允许所有可逆词，再把指定方程及群公理必然推出的全部后果一并识别。

例子与边界

循环群 $C_n\cong\langle a\mid a^n=1\rangle$$C_n\cong ⟨a\mid a^n=1⟩$；无限循环群为 $\langle a\mid\ \rangle$$⟨a\mid ⟩$。二面体群可写成 $\langle r,s\mid r^n=s^2=1,\ srs=r^{-1}\rangle$$⟨r,s\mid r^n=s^2=1,srs=r^{-1}⟩$。同一个群通常有许多不同呈示，添加冗余生成元和关系不改变同构类型。有限呈示只表示 $S,R$$S,R$ 有限，不表示群有限。一般群的词问题不可判定，所以从两个有限呈示判断同构没有通用简单算法。直接把关系在自由幺半群中取普通商会得到呈示幺半群，未必得到所需群。

推论与应用

群呈示把拓扑基本群、对称群和离散群压缩为有限数据，并允许用 Tietze 变换、重写系统和计算群论操作生成元与关系。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 6, free groups, presentations, and relations。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 6, generators, relations, and presented groups。