群的呈示

呈示把群写成“字母表加方程组”：生成元提供构造元素的字母，关系规定哪些词代表单位元。生成元在商群中的像生成理路生成子群Generated subgroup · Subgroup generated by a set包含指定元素集的最小子群，也就是生成元及其逆元的一切有限乘积。整个群，因为每个商群元素都有一个自由词作为代表。

正规闭包收集关系在群运算下的全部后果。若商映射 $q$ 满足 $q(r)=e$，则对任意词 $w$，也有 $q(wr{w}^{-1})=q(w)eq(w{)}^{-1}=e$；这些共轭的乘积及逆元也都映为单位元。因此任何满足关系的同态，其核都包含 $⟨⟨R⟩⟩$，恰好能经过这个商分解。

当 $S,R$ 都有限时，一小组符号和方程就能描述整个群。群是否有限、两个词是否相等，则取决于这些关系的全部推论。下面先展示如何由关系得到正常形，再讨论这种计算的算法边界。

用正常形确定群 ​

对正整数 $n$，$⟨a\mid a^n⟩\cong C_n$，因为每个词都能化为 $a^i$，指数按模 $n$ 计算。空关系集给出 $⟨a\mid ⟩\cong \mathbb{Z}$，每个整数指数都保留下来。两个呈示都有限，前者给出有限群，后者给出无限群。

对 $n\ge 3$，考虑呈示

用 $sr=r^{-1}s$ 把所有 $s$ 移到右边，再约去 $r^n$ 和 $s^2$，任何词都化成 $r^i{s}^j$，其中 $0\le i<n$、$j\in \{0,1\}$。所以这个群至多有 $2n$ 个元素。另一方面，正 $n$ 边形的旋转与反射满足这些关系，并生成全部 $2n$ 个对称；泛性质给出到该对称群的满同态。上界与下界相同，就证明呈示定义的群正是二面体群。

消去冗余生成元和关系 ​

同一个群可以有不同呈示。例如在 $⟨a\mid a^3⟩$ 中加入生成元 $b$ 和关系 $b=a^2$，得到 $⟨a,b\mid a^3,b=a^2⟩$；把每个 $b$ 替换为 $a^2$，就恢复原来的呈示。这是 Tietze 变换的一种：加入或消去可由已有词表达的生成元。另一种是加入或消去可由其他关系推出的关系。这些变换保持群的同构类型。

关系也可能消去全部生成元。例如

呈示的是平凡群。两条关系分别改写为 $ba=a{b}^2$ 与 $ab=b{a}^2$，于是

先左消去 $b$ 得 $a=a^{2}b$，再左消去 $a$ 得 $1=ab$，所以 $b=a^{-1}$。代回第二条关系，得到 $a^2=b^{-1}ab=a$，故 $a=1$，进而 $b=1$。

词的约化与算法边界 ​

所用词模型决定了基础运算。单字母、无关系的自由幺半群理路自由幺半群Free monoid由给定字母集合上的有限串及连接运算组成、满足相应泛性质的幺半群。只有 $1,a,a^2,\dots$，同构于 $(\mathbb{N},+)$；自由群还包含负指数，得到 $(\mathbb{Z},+)$。幺半群呈示通过同余识别词，群呈示则在已有逆元的自由群上取正规商。

自由群中的词问题可以通过相邻逆字母约消解决，但加入有限组关系后，推导可能没有通用的判定程序。Novikov 与 Boone 构造了词问题不可解的有限呈示群：对这些固定的群，不存在总能判断输入词是否为单位元的算法。另一个问题是把有限呈示本身作为输入，判断所得群是否平凡；它同样不可判定理路可判定语言Decidability · Recursive language · Decidable language存在统一、总能停机且正确回答成员资格的判定器；等价于语言及其补语言都可识别。。这些结论界定了通用算法的范围，而具体呈示仍可像前面的例子一样直接求解。

在代数拓扑中，Seifert–van Kampen 定理理路Seifert–van Kampen 定理Seifert–van Kampen theorem把空间开覆盖的基本群通过推送结构组合为整体基本群。把空间的粘合转化为基本群理路基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。的生成元与关系。例如把正方形的两对对边分别粘合成环面，两条基本回路记为 $a,b$，正方形边界给出关系 $ab{a}^{-1}{b}^{-1}=1$，得到 $⟨a,b\mid ab=ba⟩\cong {\mathbb{Z}}^2$。

对有限生成集 $S$，Cayley 图从每个群元素 $g$ 连边到 $gs$，其中 $s\in S\cup S^{-1}$。从单位元出发的一条路径记录一个词，到达的顶点记录这个词的群元素；最短路径长度就给出相对于 $S$ 的词长。生成元与关系由此转化为群上的离散几何。

有限呈示还提供阿贝尔化的计算方法：让生成元交换后，每条关系只剩各生成元的指数和，组成一个整数关系矩阵。对它求整数 Smith 正规形理路PID 上的 Smith 正规形Smith normal form over a PID · Smith normal formPID 上的矩阵可经可逆行列变换化为满足整除链的对角形，且对角因子在相伴意义下唯一。，就能利用有限生成阿贝尔群结构定理理路有限生成阿贝尔群结构定理Structure theorem for finitely generated abelian groups每个有限生成阿贝尔群唯一分解为自由部分与有限循环素幂部分。读出不变因子。例如上述二面体群的关系变为 $nr=0$、$2s=0$、$2r=0$，所以阿贝尔化为 $C_{gcd(n,2)}\times C_2$：$n$ 为奇数时只留下反射的二元信息，$n$ 为偶数时旋转的奇偶性也保留下来。

对不要求生成操作可逆的线性图式，带关系箭图代数理路带关系箭图代数Bound quiver algebra · Quiver with relations用路径理想表达交换与零关系，计算交换菱形的九维商，并说明可容许条件和无关系同调公式的边界。使用路径代数的双边理想；例如交换菱形的两条复合相等，与群词等于单位是不同种类的关系。

辫群理路辫群与闭包Braid group · Braid closure用单调空间股线定义辫群及 Artin 关系，区分辫相等与闭包同痕，并通过 Markov 变换解释不同股数的同一个结。把三维中互不碰撞的股线运动写成 Artin 生成元与关系。这里没有相邻交换的平方等于一这一关系，所以不能只保留端点置换；辫闭包的结型还需允许 Markov 稳定化，固定股数下的群呈示相等并非全部问题。

秩二结晶根系理路秩二 Cartan 矩阵与根系分类Rank-two Cartan classification · 秩二结晶根系分类从两个简单根的整数配对完整恢复四种有限秩二模型，给精确反射矩阵、根表和群阶，并用正定边界拒绝无限模型。把本页的二面体正常形变成精确矩阵证书：两个简单反射的积阶只能为二、三、四、六，分别得到四、六、八、十二个矩阵。正常形先给群大小上界，旋转矩阵的精确阶与行列式再证明这些形式互不相同。只检查几条关系成立一般只能给一个满同态，不能自动证明关系已经完整；这里上下界相等才补齐这一步。