形式陈述

设 $H\le G$$H\le G$。对 $g\in G$$g\in G$，左陪集与右陪集分别为

$$ gH=\{gh:h\in H\},\qquad Hg=\{hg:h\in H\}. $$$$gH=\{gh:h\in H\},Hg=\{hg:h\in H\}.$$

两个左陪集要么相等要么不交，且 $gH=g'H$$gH=g^{\prime }H$ 当且仅当 $g^{-1}g'\in H$$g^{-1}{g}^{\prime }\in H$；所有左陪集构成 $G$$G$ 的分划。映射 $h\mapsto gh$$h\mapsto gh$ 是 $H$$H$ 到 $gH$$gH$ 的双射，所以每个陪集与 $H$$H$ 等势。左陪集数称为指数 $[G:H]$$[G:H]$。只有当 $H$$H$ 正规时，左、右陪集对每个 $g$$g$ 相同，陪集集合才能以 $(gH)(kH)=gkH$$(gH)(kH)=gkH$ 良定义成商群。

直觉

陪集把群按“相差一个子群元素”分类；同一块中的元素在忽略 $H$$H$ 内部变化后不可区分。

例子与边界

在加法群 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 中，子群 $n\mathbb Z$$n\mathbb{Z}$ 的陪集是模 $n$$n$ 的剩余类。对 $S_3$$S_3$ 中 $H=\{e,(12)\}$$H=\{e,(12)\}$，左陪集与某些右陪集不同，说明普通子群不必正规。有限群中分划立刻给出 $|G|=[G:H]|H|$$|G|=[G:H]|H|$。陪集一般不是子群：$gH$$gH$ 含单位元当且仅当 $g\in H$$g\in H$，此时 $gH=H$$gH=H$。等式 $gH=Hg$$gH=Hg$ 对某个特定 $g$$g$ 成立不足以证明 $H$$H$ 正规；需对所有 $g\in G$$g\in G$ 成立。无限群中指数和基数乘法仍可讨论，但不能把有限整数整除结论原样套用。

推论与应用

陪集支撑 Lagrange 定理、商群、群作用的轨道—稳定子思想和同态核像分析，也是模同余与等价类的群论原型。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 3, cosets, Lagrange theorem, and quotient groups。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 2, cosets and normal subgroups。