欧拉示性数

Euler 示性数把各维胞腔数做交替相加，低维“点和边”的过量由高维填充逐级抵消。单个胞腔分解的计数依赖切分方式，但交替和在有限 CW 同伦型下保持不变；代数上，它等于各维同调秩的交替和。它压缩信息很强，因此相同示性数远不足以推出空间同胚。

有限图作为一维 CW 复形有 $\chi =|V|-|E|$。球面 $S^2$ 的 $\chi =2$，环面 $T^2$ 的 $\chi =0$，闭可定向亏格 $g$ 曲面有 $\chi =2-2g$。用整数同调的自由秩，或等价地用有理 Betti 数计算时，挠子群不直接进入求和。换成特征为 $p$ 的域后，挠信息却可能改变各次 Betti 数；只是它们对交替和的影响相互抵消，最终的 $\chi$ 仍相同。无限胞腔数的无穷交替和可能发散或依赖求和方式，不能机械套用。欧拉示性数很粗：许多不同空间具有相同 $\chi$。

${\mathbb{RP}}^2$ 的胞腔链是 $\mathbb{Z}\stackrel{2}{\to }\mathbb{Z}\stackrel{0}{\to }\mathbb{Z}$，所以 $\chi =1-1+1=1$。在 $\mathbb{Q}$ 上，次数 $0,1,2$ 的 Betti 数为 $(1,0,0)$；在 ${\mathbb{F}}_2$ 上，乘 $2$ 的边界变成零，Betti 数变成 $(1,1,1)$。两者的交替和仍为 $1$，但不能说挠信息从未影响域系数同调。

把四面体边界作为球面的三角剖分，有

在一个三角形内部加入新顶点并连向三个顶点，会同时增加 $1$ 个顶点、$3$ 条边和 $2$ 个面，交替和保持不变，直观显示细分不改变 Euler 示性数。另一方面，$S^1$ 与环面都满足 $\chi =0$，但一阶同调秩分别为 $1$ 与 $2$，所以这一不变量远不能完成分类。

有限CW 复形理路CW 复形CW complex通过按维粘贴开胞腔逐层构造，并满足闭包有限性与弱拓扑条件的空间。的胞腔交替和与同调理路奇异同调Singular homology由奇异单形生成链复形，再以循环模边界得到的拓扑不变量。 Betti 数交替和一致，因此由同伦等价保持。平面图 Euler 公式理路平面图欧拉公式Euler's formula for planar graphs连通平面图的顶点数、边数与面数满足 V−E+F=2。是二维胞腔分解的先例，Gauss–Bonnet 定理又把它与总高斯曲率联系起来，闭曲面情形须乘上 $2\pi$；Lefschetz 不动点理论则把它推广为映射在各维同调上迹的交替和。它常作为不可能同伦等价的快速障碍，但不能单独完成分类。

Gauss–Bonnet 的逐面证明理路Gauss–Bonnet 定理Gauss–Bonnet theorem从正向标架的联络形式推出局部转角公式，再由三角剖分证明整体 Gauss–Bonnet；显式计算球面两图的 Euler 数和嵌入环面的正负曲率抵消。把局部转角相加，内部边相消，内部顶点贡献 $2\pi$，边界顶点贡献 $\pi$ 再扣除外角；关系 $3F=2E_i+E_b$ 和 $E_b=V_b$ 随后精确恢复 $2\pi (V-E+F)$。配合Euler 曲率代表理路定向平面丛的 Euler 类Euler class · Euler class of an oriented plane bundle · 欧拉类在闭定向曲面上用边界绕数构造定向秩二实丛的整数 Euler 类，证明选择无关，并把它与度量联络的曲率积分及球面拼接整数直接对应。，这证明曲面切丛的 Euler 数等于本页的胞腔计数；一般丛的 Euler 类则是另一个对象，不能直接拿底空间的示性数代替。

结亏格与连通和理路结的亏格与连通和Knot genus · Connected sum of knots最小 Seifert 曲面亏格是结不变量，对连通和可加；用三叶结和两个三叶结的连通和同时核验上下界。把带边界曲面的示性数用于具体计算。Seifert 算法的 $s$ 张圆盘和 $c$ 条带给 $\chi =s-c$；边界只有一条结时 $\chi =1-2g$。这个计数给构造曲面的亏格上界，仍需其他不变量证明它已最小。

在非空、紧致、连通、无边界二维流形这一明确范围内，闭曲面分类定理理路闭曲面分类定理Classification of closed surfaces · Compact surface classification · 闭连通曲面分类以多边形切粘规范化证明闭连通曲面的类型存在，再由整数同调证明类型与亏格唯一，分清分类证明和Euler计数。先用多边形切粘证明标准模型穷尽，再用同调证明唯一；此后可定向性与 Euler 数才能共同确定类型。只列 $2-2g$、$2-k$ 的计数公式，不能替代存在性证明，也不能用于任意二维 CW 复形。

将各维恒等算子的秩换成一般自映射的迹，得到Lefschetz数理路Lefschetz 不动点定理Lefschetz fixed point theorem · Lefschetz数 · Hopf交替迹公式由有限同调作用的交替迹认证不动点，完整证明链迹抵消及两级细分的零对角机制，并区分存在性与点数。。有限链复形中，按边界、同调和低一维边界适配基后，边界迹同样成对抵消。对有限多面体，非零Lefschetz数保证不动点存在；恒等映射时便恢复本页的Euler数。逆向不成立：圆周恒等与非零旋转的数值均为零，前者固定所有点，后者没有不动点。