形式陈述

若 $X$$X$ 有有限 CW 分解，令 $c_k$$c_k$ 为 $k$$k$ 维胞腔数，定义欧拉示性数

$$ \chi(X)=\sum_{k\ge0}(-1)^k c_k. $$$$\chi (X)=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k{c}_k.$$

该值与所选有限 CW 分解无关，并满足同调公式：对任意域 $\mathbb F$$\mathbb{F}$，

$$ \chi(X)=\sum_{k\ge0}(-1)^k\dim_{\mathbb F}H_k(X;\mathbb F). $$$$\chi (X)=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k{\dim }_{\mathbb{F}}{H}_k(X;\mathbb{F}).$$

因此它是同伦不变量。对有限单纯复形也可用各维单形数交替求和。更一般空间只有在同调有限型且交替和有意义时才可直接使用 Betti 数定义。

直觉

每一维的生成单元交替加减；边界关系造成的秩消去使最终结果只剩同调中未被配对的洞的交替总数。

例子与边界

有限图作为一维 CW 复形有 $\chi=|V|-|E|$$\chi =|V|-|E|$。球面 $S^2$$S^2$ 的 $\chi=2$$\chi =2$，环面 $T^2$$T^2$ 的 $\chi=0$$\chi =0$，闭可定向亏格 $g$$g$ 曲面有 $\chi=2-2g$$\chi =2-2g$。同调公式只使用自由秩，扭结子群不直接贡献欧拉示性数。无限胞腔数的无穷交替和可能发散或依赖求和方式，不能机械套用。欧拉示性数很粗：许多不同空间具有相同 $\chi$$\chi$。

推论与应用

欧拉示性数连接组合剖分、同调和曲率，用于图的环秩、曲面分类、Lefschetz 不动点理论和 Gauss–Bonnet 定理。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 2, Euler characteristic from cells and homology。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. IV, Euler characteristic and finite complexes。