欧拉示性数 | Codeboy's Blog

形式陈述

若 $X$ 有一个胞腔全体构成有限集的 CW 分解，令 $c_k$ 为 $k$ 维胞腔数，定义欧拉示性数

\chi(X)=\sum_{k\ge0}(-1)^k c_k.

该值与所选有限 CW 分解无关，并满足同调公式：对任意域 $\mathbb F$ ，

\chi(X)=\sum_{k\ge0}(-1)^k\dim_{\mathbb F}H_k(X;\mathbb F).

因此它是同伦不变量。对有限单纯复形也可用各维单形数交替求和。更一般空间只有在同调有限型且交替和有意义时才可直接使用 Betti 数定义。

直觉

Euler 示性数把各维胞腔数做交替相加，低维“点和边”的过量由高维填充逐级抵消。单个胞腔分解的计数依赖切分方式，但交替和在有限 CW 同伦型下保持不变；代数上，它等于各维同调秩的交替和。它压缩信息很强，因此相同示性数远不足以推出空间同胚。

例子与边界

有限图作为一维 CW 复形有 $\chi=|V|-|E|$ 。球面 $S^2$ 的 $\chi=2$ ，环面 $T^2$ 的 $\chi=0$ ，闭可定向亏格 $g$ 曲面有 $\chi=2-2g$ 。同调公式只使用自由秩，扭结子群不直接贡献欧拉示性数。无限胞腔数的无穷交替和可能发散或依赖求和方式，不能机械套用。欧拉示性数很粗：许多不同空间具有相同 $\chi$ 。

把四面体边界作为球面的三角剖分，有

V-E+F=4-6+4=2.

在一个三角形内部加入新顶点并连向三个顶点，会同时增加 $1$ 个顶点、 $3$ 条边和 $2$ 个面，交替和保持不变，直观显示细分不改变 Euler 示性数。另一方面， $S^1$ 与环面都满足 $\chi=0$ ，但一阶同调秩分别为 $1$ 与 $2$ ，所以这一不变量远不能完成分类。

推论与应用

有限CW 复形的胞腔交替和与同调 Betti 数交替和一致，因此由同伦等价保持。平面图 Euler 公式是二维胞腔分解的先例，Gauss–Bonnet 定理又把它等同于总高斯曲率；Lefschetz 不动点理论则把它推广为映射在各维同调上迹的交替和。它常作为不可能同伦等价的快速障碍，但不能单独完成分类。

参考资料

Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 2, Euler characteristic from cells and homology。
Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. IV, Euler characteristic and finite complexes。

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