平面图欧拉公式

$V-E+F$ 在平面嵌入中不随局部细分改变：给边中插一个点会同时令 $V,E$ 各加一，跨一个面加边会令 $E,F$ 各加一。把连通平面图逐步删去圈上的边直至生成树，恰好保留这一不变量；树只有一个面且 $E=V-1$，于是常数为二。面数依赖具体嵌入，但这个交替和不依赖。

三角形嵌入有 $n=3,m=3,f=2$。树有 $f=1$，仍满足公式。公式属于具体平面嵌入，但对连通平面图任意嵌入的面数由 $n,m$ 决定。边界长度计数中桥在同一面边界上计两次，仍有面度总和 $2m$；简单图的 $3f\le 2m$ 还需 $n\ge 3$。含平行边时可能出现二边面，含环时可能出现一边面，故 $m\le 3n-6$ 不再自动成立。Euler 公式给必要条件但不足以判定平面性；满足边数界的图仍可能非平面。

立方体骨架有 $V=8,E=12,F=6$，确有 $8-12+6=2$。若图有 $c$ 个连通分量，则平面上所有分量共享同一个外面，公式改为 $V-E+F=1+c$；直接对每个分量套二再相加会把外面重复计算。多重边与桥允许时，面边界可能重复经过边，仍须按拓扑面而非“看起来的多边形”计数。

平面图公理库平面图Planar graph · Plane graph可把顶点与边嵌入平面且除公共端点外没有交叉的抽象图。的嵌入配合连通性得到 Euler 公式；再用每个面至少三条边与握手式公理库握手引理Handshaking lemma有限无向图中所有顶点度数之和等于边数的两倍。可推导 $E\le 3V-6$，从而证明 $K_5$ 非平面。它还给出平均度小于六、必有低度顶点等结构结论，并在Euler 示性数公理库欧拉示性数Euler characteristic以胞腔交替计数或同调群秩交替和定义的拓扑不变量。中推广为曲面与胞腔分解的不变量。