形式陈述

设一个有限连通平面图的顶点数、边数和面数分别为 $n,m,f$$n,m,f$，其中面包括无界外面。Euler 公式断言

$$ n-m+f=2. $$$$n-m+f=2.$$

可从生成树开始证明：树有 $m=n-1$$m=n-1$ 且只有一个面；每加入一条不破坏平面嵌入的非树边，边数与面数各增加一，等式保持。若平面图有 $c$$c$ 个连通分量，则

$$ n-m+f=1+c. $$$$n-m+f=1+c.$$

对简单连通平面图 $n\ge3$$n\ge 3$，每个面边界长度至少三，从而 $3f\le2m$$3f\le 2m$，结合 Euler 公式得

$$ m\le3n-6. $$$$m\le 3n-6.$$

直觉

平面嵌入中，增加一条形成新圈的边会恰好把一个面切成两个，因此“顶点−边+面”保持不变，最终归约到树。

例子与边界

三角形嵌入有 $n=3,m=3,f=2$$n=3,m=3,f=2$。树有 $f=1$$f=1$，仍满足公式。公式属于具体平面嵌入，但对连通平面图任意嵌入的面数由 $n,m$$n,m$ 决定。边界长度计数中桥在同一面边界上计两次，仍有面度总和 $2m$$2m$；简单图的 $3f\le2m$$3f\le 2m$ 还需 $n\ge3$$n\ge 3$。含平行边时可能出现二边面，含环时可能出现一边面，故 $m\le3n-6$$m\le 3n-6$ 不再自动成立。Euler 公式给必要条件但不足以判定平面性；满足边数界的图仍可能非平面。

推论与应用

Euler 公式导出平面图稀疏性、低度顶点、六色/五色论证，并连接多面体拓扑的 Euler 示性数。

参考资料

• Reinhard Diestel, Graph Theory, 5th ed., Springer, 2017，Ch. 4, Euler formula for plane graphs。
• Douglas B. West, Introduction to Graph Theory, 2nd ed., Prentice Hall, 2001，Ch. 6, planar embeddings and Euler formula。