握手引理

每条无向边有两个端点，按顶点数关联次数与按边数端点次数是在数同一批关联对 $(v,e)$。自环若允许，会在同一顶点贡献两个端点，因此仍保持等式。奇度顶点数为偶数只是总度数为偶数的模二投影，却产生了许多存在性与不可能性结论。

三角形的三个顶点度数均为 $2$，总和为 $6=2|E|$。无限图中不能把有限求和公式无条件照搬；有向图则应分别统计入度与出度。

度数和为奇数的序列必不可实现，但偶数和只是必要条件。有限简单图中还需满足每个度数不超过 $n-1$ 以及全部前缀容量约束；Havel–Hakimi 构造和 Erdős–Gallai 充要条件见图度序列与可实现性公理库图度序列与可实现性Graphical degree sequence · Graphic sequence用 Havel–Hakimi 约化和 Erdős–Gallai 不等式刻画有限简单无向图的度序列。。

图中的顶点—边关联双重计数给出握手式，Euler 道判定公理库Euler 道判定Euler trail criterion · Eulerian trail theorem有限无向图存在遍历每条边恰一次的道路，当且仅当非孤立部分连通且奇度顶点数为零或二。用其奇偶推论限制端点。除以顶点数即可把总边数转成平均度，从而服务于稀疏性估计；结合平面图 Euler 公式公理库平面图欧拉公式Euler's formula for planar graphs连通平面图的顶点数、边数与面数满足 V−E+F=2。与面度数双计数，又可推出平面边数上界。在完全图公理库完全图Complete graph每一对不同顶点都恰有一条边相连的有限简单无向图。中，它也直接核对 $n(n-1)=2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$，并展示双计数证明的基本套路。