形式陈述

对有限无向图 $G=(V,E)$，每条非环边对两个端点各贡献一次关联，因此

$$\sum _{v\in V}\mathrm{deg}(v)=2|E|.$$

若允许自环，则按自环对度数贡献 $2$ 的标准约定，公式仍成立。直接推论是奇度顶点个数必为偶数。

直觉

这是最基本的双计数：从顶点端统计所有“边—端点关联”，也可以从边端统计；后一种统计中每条边恰出现两次。

例子与边界

三角形的三个顶点度数均为 $2$，总和为 $6=2|E|$。无限图中不能把有限求和公式无条件照搬；有向图则应分别统计入度与出度。

推论与应用

它是 Euler 道判定、平均度估计、图稀疏性和大量双计数证明的起点。

参考资料

• Eric Lehman, F. Thomson Leighton, Albert R. Meyer, Mathematics for Computer Science (2018/2024), degree sums and double counting.
• Reinhard Diestel, Graph Theory, 6th ed. (2025), basic graph theory.