形式陈述

有限无向图存在 Euler 回路，当且仅当所有非零度顶点位于同一连通分量且每个顶点度数为偶数；存在不闭合的 Euler 道，当且仅当非零度部分连通且恰有两个奇度顶点，这两个顶点分别是道路起点与终点。 必要性来自每次进入中间顶点都必须由另一条未重复边离开；充分性可由逐步拼接闭合回路的 Hierholzer 构造证明。

直觉

边在中间顶点成对使用。只有开放道路的两个端点可以各留下一个未配对的“边端口”。

例子与边界

一条非平凡路径恰有两个奇度端点，因此具有 Euler 道。两个互不相交的环虽然所有顶点度数均为偶数，却因非孤立部分不连通而无法一笔画完。

推论与应用

它把一笔画问题化为局部度数与全局连通性检查，并连接 Hierholzer 算法和中国邮差问题。

参考资料

• Eric Lehman, F. Thomson Leighton, Albert R. Meyer, Mathematics for Computer Science (2018/2024), Euler tours.
• Douglas B. West, Introduction to Graph Theory, 2nd ed. (2001), Eulerian graphs.