在有限图 中，Hamilton 路是包含 中每个顶点恰好一次的路公理库路与圈Path and cycle in a graph用相邻顶点序列刻画图中的行走、简单路径与首尾闭合的简单圈。。若这条路的两个端点相邻，加入连接它们的边便得到包含全部顶点的Hamilton 圈；含 Hamilton 圈的图称为 Hamilton 图。圈的起点与行走方向不构成新的圈，重要的是它选出的循环次序和边集。
端点受限问题会另外指定 Hamilton 路必须从 到 。有向图版本要求连续边都服从方向，并把首尾闭合成有向圈。这些定义只约束顶点：Hamilton 路用 条边，Hamilton 圈用 条边，图中其余边无需出现。
不存在像 Euler 判据那样只凭顶点度数就完整刻画一般图 Hamilton 性的简单局部条件。对 的简单图，Dirac 条件 与 Ore 条件“每对不相邻顶点 都满足 ”都能保证 Hamilton 圈，但它们是充分条件，不是定义，也不是必要条件。
直觉
Hamilton 问题寻找一种覆盖全体顶点的全局次序：每个顶点只有一次进入和一次离开的机会，局部选择会持续压缩后续可用的连接。Euler 迹公理库欧拉迹Eulerian trail · Eulerian path恰好一次经过每条边的迹。恰好相反，它消费每条边而允许重复顶点，因此顶点度数的进出配对能给出完整判据。把“边一次”换成“顶点一次”看似细小，却把局部平衡问题变成了难以由局部信息决定的整体排列问题。
例子与边界
完全图 在 时可按任意顶点排列首尾相接，因而有 Hamilton 圈。路径图 自身是一条 Hamilton 路，却在 时没有 Hamilton 圈，因为两个端点度数为 。星图 在 时连 Hamilton 路也没有：一条简单路经过中心至多连接两个叶子，第三个叶子无法被纳入。Petersen 图则有 Hamilton 路而没有 Hamilton 圈，说明“存在覆盖路”严格弱于“存在覆盖圈”。
Hamilton 圈不要求使用全部边。 的任一四边形次序给出 Hamilton 圈，剩下两条对角边可以完全不用；因此不能因仍有未走边就否定 Hamilton 性。反过来，一个图可以有 Euler 回路却没有 Hamilton 圈，例如两个三角形只共享一个割点的“8”字图：每条边能在闭迹中恰走一次，但任何简单圈若穿过两个三角形就必须重复共享顶点。
有向图中忽略方向也会制造假解。若底层无向图存在覆盖圈，而某一条必经边只朝相反方向定向，相同顶点次序便不再是有向 Hamilton 圈。
推论与应用
Hamilton 圈把排序、巡回和图的邻接约束放进同一模型。旅行商问题在此基础上给边赋成本，要求从所有 Hamilton 圈中选最便宜者；若只问是否存在，已是经典的 NP 完全判定问题。网格巡检、芯片布线和基因片段排序中也会出现相同的“每个位置一次”约束，但具体模型是否允许重复、缺边或代价，必须另外声明。
图公理库有限简单无向图Graph · Finite simple undirected graph · 图由有限顶点集与无序二元顶点子集组成的边集所确定的简单无向图。与路和圈公理库路与圈Path and cycle in a graph用相邻顶点序列刻画图中的行走、简单路径与首尾闭合的简单圈。提供对象语言，Euler 判定公理库Euler 道判定Euler trail criterion · Eulerian trail theorem有限无向图存在遍历每条边恰一次的道路，当且仅当非孤立部分连通且奇度顶点数为零或二。则构成最重要的反面对照。度数条件可以快速给出必要障碍或强充分保证，却不能替代全局构造；例如 Hamilton 圈要求每个顶点度数至少为 ，但满足这个必要条件的图仍可能被割点阻断。
