形式陈述

图 $G$$G$ 称为平面图，若能把顶点画成平面中的不同点、把边画成仅在公共端点相交的曲线。一次具体无交叉画法连同其面结构称为平面嵌入或平面图（plane graph）。对连通平面嵌入，Euler 公式为

$$ |V|-|E|+|F|=2. $$$$|V|-|E|+|F|=2.$$

因此简单平面图在 $|V|\ge3$$|V|\ge 3$ 时满足 $|E|\le3|V|-6$$|E|\le 3|V|-6$。Kuratowski 定理进一步刻画：有限图平面当且仅当不含 $K_5$$K_5$ 或 $K_{3,3}$$K_{3,3}$ 的细分作为子图。

直觉

平面性不是某张画得是否杂乱，而是能否重新安排整张图以消除所有非端点交叉；嵌入一旦固定，还记录边围成哪些面。

例子与边界

$K_4$$K_4$ 可平面嵌入，尽管把四点画成凸四边形并画两条对角线会交叉。$K_5$$K_5$ 和 $K_{3,3}$$K_{3,3}$ 非平面。边数不超过 $3n-6$$3n-6$ 只是必要条件：稀疏图仍可能因包含 $K_{3,3}$$K_{3,3}$ 细分而非平面。Euler 公式对不连通嵌入需改成 $|V|-|E|+|F|=1+c$$|V|-|E|+|F|=1+c$，其中 $c$$c$ 为连通分量数。

两边都是具有 4 个顶点、6 条边的 K₄；平面性允许重新安排顶点与边。

推论与应用

平面图理论用于电路布线、地图、网格算法和图绘制。平面嵌入带来的对偶图、分隔定理和更强算法结构，使许多一般图难题在平面图上更易处理。

参考资料

• Reinhard Diestel, Graph Theory, 5th ed., Springer, 2017，Ch. 4, plane graphs, Euler formula, and Kuratowski theorem。
• Douglas B. West, Introduction to Graph Theory, 2nd ed., Prentice Hall, 2001，Chs. 6–7, planar embeddings and forbidden subdivisions。