图 minor

普通子图只允许删除，minor 还允许把一段连通区域压缩成一个粗粒度顶点。它忘掉局部路径有多长，却保留哪些连通块能够彼此相邻。因此 minor 适合描述在任意细分和局部拉长下都不变的全局拓扑障碍。

branch-set 刻画把收缩过程静态化：不必记录操作顺序，只需指出原图中哪些互不重叠的连通块扮演目标图顶点。目标图没有要求的额外邻接可以删除，所以 branch sets 之间允许比 $H$ 更多的边。

四边形 $C_4$ 不含三角形子图，但收缩任意一条边后得到 $K_3$，所以 $K_3\preccurlyeq C_4$。这直接说明 minor 不等于子图理路子图Subgraph从母图删除顶点或边、同时保留剩余边端点关系所得的图。。一条边被任意多次细分所得的长路径，收缩新增边后又回到原边；minor 因而忽略这种局部长度变化。

平面图的 minor 仍是平面图。Wagner 定理进一步断言，有限图平面当且仅当它没有 $K_5$ 或 $K_{3,3}$ minor。Kuratowski 定理理路Kuratowski 定理Kuratowski's theorem有限图可平面嵌入，当且仅当不含 K5 或 K3,3 的细分子图。使用的则是 subdivision，也就是 topological minor；两条定理结论相近，但一般 minor 的 branch sets 可以分叉，不能把两种包含关系当作同一个定义。

收缩也不是任意识别两个顶点：只有一条边的两个端点可直接收缩；branch-set 版本相应要求每一块连通。诱导子图又是更严格的概念，因为它连删除保留顶点之间的边都不允许。

若一个图性质在删除与收缩下保持，就称其 minor-closed。平面性与固定曲面可嵌入性都是典型例子。树宽也有相应的单调性：当所得 minor $H$ 非空时，

其中树宽见树分解与树宽理路树分解与树宽Tree decomposition · Treewidth用按树组织的顶点袋覆盖图，并以最小最大袋大小衡量图偏离树结构的程度。。

Robertson–Seymour 图 minor 定理说明有限图在 minor 关系下良拟序；等价地，每个 minor-closed 图族都由有限个禁用 minor 刻画。该定理的证明远超定义页范围，但它解释了为何“找有限障碍”成为结构图论与识别算法中的统一策略。