Poincaré–Hopf 定理

每个孤立零点周围，归一化向量场把一圈方向送到一圈方向；指数统计它绕了多少次。局部可以出现旋涡、源、汇或鞍点，定理说所有局部绕转的代数总账由流形本身的 Euler 示性数预先决定，与具体选择的向量场无关。

证明可把零截面与向量场截面的交数解释为切丛 Euler 类在基本类上的取值；非定向流形须同时使用定向局部系统中的 Euler 类与基本类，所得配对仍是整数。也可把向量场逐胞腔延伸时的最终障碍识别为 Euler 示性数。用Morse 函数公理库Morse 函数Morse function所有临界点的 Hessian 都非退化的光滑实值函数。给出的梯度场时，Morse 引理使指标为 $\lambda$ 的临界点贡献 $(-1{)}^{\lambda }$，于是局部指数和正好变成把手数的交替和。

代数符号至关重要。两个新零点可以在扰动中成对产生，但它们的指数通常一正一负，总和不变；只数零点个数会随向量场改变，无法成为拓扑不变量。

在 $S^2$ 上取高度函数 $f(x,y,z)=z$ 的梯度场。南极是指标 $0$ 的 Morse 极小点，Hessian 正定，向量场指数 $+1$；北极是指标 $2$ 的极大点，Hessian 负定但二维行列式仍为正，指数也为 $+1$。所以

这也推出毛球障碍：球面上不可能有处处非零切向量场，否则左端为空和 $0$，与 $\chi (S^2)=2$ 矛盾。

标准竖直环面上的高度 Morse 函数有四个临界点：一个极小和一个极大各贡献 $+1$，两个鞍点的 Hessian 各有一个负方向，分别贡献 $-1$。总和 $1-1-1+1=0$，吻合 $\chi (T^2)=0$。此例说明零点很多并不迫使 Euler 示性数非零，符号抵消才是结论核心。

边界方向可在区间上复算。取 $M=[0,1]$ 与

$X$ 在 $0$ 指向左、在 $1$ 指向右，均为向外；内部唯一零点 $x=1/2$ 的导数为 $2>0$，指数 $+1=\chi ([0,1])$。若边界场不向外，等式需要改变。非紧致性也不可删除：$\mathbb{R}$ 上常向量场没有零点，但 $\mathbb{R}$ 可缩且普通 Euler 示性数为 $1$，直接套用会得到错误的 $0=1$。

若零点不是孤立的，局部球面未必能逐点分隔各零点，本条指数和没有直接定义；可在紧邻域上定义总指数或先作受控扰动，但需证明没有零点穿越边界。

若紧闭流形满足 $\chi (M)\ne 0$，任何连续或光滑切向量场都必须有零点。反过来，“指数和可能为零”本身不能逻辑推出存在无零点场；借助障碍论可证明，对紧致、连通、无边界流形，$\chi (M)=0$ 确实等价于存在无零点向量场。若流形不连通，必须要求每个连通分支的 Euler 示性数都为零，不能让不同分支的数值相消。

对 Morse 梯度场，定理给

其中 $c_{\lambda }$ 是指标 $\lambda$ 的临界点数。把手分解给出同一公式，因为附着一个 $\lambda$-把手使 Euler 示性数改变 $(-1{)}^{\lambda }$；局部动力学与全局胞腔计数由此闭合。

在动力系统中，指数可排除某些平衡点配置；在叶状结构和特征类理论中，向量场零点代表切丛 Euler 类。带边界、非紧或有对称约束的问题仍可建立相应指数公式，但必须加入边界项、无穷远指数或等变修正，不能把它们隐藏在闭流形版本里。