Morse 函数

在临界点，一阶斜率已经全为零，局部形状由二阶项首先决定。Hessian 非退化意味着没有任何方向连二阶曲率也消失，因此临界点不会沿曲线拖成长脊，也不会出现需要三阶或四阶项才能辨认的平顶。负方向数告诉我们从多少个独立方向离开该点时函数先下降。

更几何地看，微分 $df$ 是余切丛的截面，临界点是它与零截面的交点。$df$ 横截零截面恰等于 Hessian 非退化，所以 Morse 函数可由光滑映射的横截性公理库光滑映射的横截性Transversality of smooth maps · Transverse map映射到达目标子流形时，其微分像与目标切空间共同张成整个环境切空间的条件。理解为“微分截面处于一般位置”。这解释了 Morse 函数在适当函数空间中为何稠密，而不只是偶然可写出的特殊公式。

Morse 条件是局部非退化性，不直接编码全局拓扑。真正的桥梁来自研究子水平集 $M^a=\{f\le a\}$：没有临界值时子水平集只经流动平移，越过指标 $\lambda$ 的临界点时则附着一个 $\lambda$-把手。

取单位球面 $S^2\subset {\mathbb{R}}^3$ 上的高度函数

临界点只有南北两极。北极附近以 $(u,v)=(x,y)$ 作坐标，

Hessian 为 $-I_2$，故北极指标 $2$。南极写成

Hessian 为 $I_2$，指标 $0$。两个临界点都非退化，所以高度是 Morse 函数；其临界值恰好不同，但后者是这个例子的附加性质。

函数 $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，$g(x)=x^4$ 的原点是孤立临界点，Hessian 却为零，因此不是 Morse；“临界点孤立”不能替代非退化。函数 $h(x,y)=x^2$ 的临界集为整条 $y$ 轴，Hessian 秩为一，更直观地展示退化方向。小扰动 $x^4-\epsilon x^2$ 会把局部临界结构分裂，说明退化点对扰动不稳定。

本条默认无边界。带边界 Morse 理论需要说明临界点是否允许落在边界、$df$ 对边界限制是否非退化，以及梯度指向边界哪一侧；忽略这些条件会漏掉半把手和边界临界点。非紧流形上的 Morse 函数可以有无限多个临界点，甚至临界值在无穷远处聚集，许多有限把手结论需另加适当性。

Morse 引理把每个非退化临界点精确化为二次标准形

而不仅是带余项的 Taylor 近似。因此指标真正决定局部子水平集越过临界值时开放的方向数。

对紧闭流形，可选择 Morse 函数并按临界值建立有限把手分解。指标为 $k$ 的临界点数 $c_k$ 给出 Morse 链群生成元，并满足 $c_k\ge b_k$ 以及交替和

若选 Riemann 度量 $g$，梯度向量场在临界点的线性化是自同态 $g_p^{-1}\circ {\mathrm{Hess}}_p(f)$；正定的 $g_p$ 不改变 Hessian 行列式的符号，所以其局部指数是 $(-1{)}^{\lambda }$。对所有临界点求和便把 Morse 计数接到 Poincaré–Hopf 定理。要构造 Morse 复形还需 Morse–Smale 横截性和紧致化流线模空间，不能由 Morse 条件单独推出。