Morse 引理

一般函数在临界点附近只有“近似像二次型”；Morse 引理说，只要 Hessian 作为双线性型的核为零，所有三阶及更高阶弯曲都能被一次非线性换坐标吸收到坐标网格里。局部拓扑因此只看正负方向数，而不看高阶系数的具体大小。

负平方方向是从临界值向下打开的方向，正平方方向是向上封闭的方向。越过临界值时，负方向组成的 $\lambda$ 维圆盘成为新把手的核心；正方向对应余核圆盘。指标不是“有几个变量带负号”的坐标偶然，而是对称型在任意坐标下保持的惯性。

非退化性还使临界点孤立：标准形的微分为 $(-2x_1,\dots ,-2x_{\lambda },2x_{\lambda +1},\dots ,2x_n)$，只在原点消失。反过来，孤立并不足以构造这种坐标，因为高阶平顶仍可能没有二次曲率。

考虑原点附近的函数

其梯度在原点为零，Hessian 为 $\mathrm{diag}(2,-2)$，所以指标为 $1$。在 $|x|<1$ 时定义

映射 $(x,y)\mapsto (u,v)$ 在原点的 Jacobian 是单位矩阵，故由逆函数定理是局部坐标；而

精确成立。三次项并非被忽略，而是被吸收到 $u$ 的非线性尺度中。这是 Morse 引理机制的可复算一维完成平方版本。

若改为 $g(x,y)=x^4-y^2$，原点 Hessian 为 $\mathrm{diag}(0,-2)$，秩只有一。任何光滑坐标变换在临界点都以可逆矩阵对 Hessian 作合同变换，不能把秩一变成非退化秩二，因此不可能把 $g$ 化为 $\pm u^2\pm v^2$。虽然原点仍是孤立临界点，缺失的二次方向必须由四次项控制。

引理是局部的。球面高度函数在南北极各有二次标准形，却不可能用同一张坐标图覆盖整球，也不能由两个局部指标单独恢复临界点之间的流线连接。若临界值相同，引理仍分别成立，但构造全局把手分解时需同时处理同一层的多个把手或先作小扰动分开临界值。

在不含其他临界点的小邻域中，标准形把子水平集写成

当右端从负变正，新增拓扑集中在 $u$ 方向的 $D^{\lambda }$，由此导出附着 $\lambda$-把手或至少附着 $\lambda$-胞腔的结论。

对梯度场 $\mathrm{\nabla }f$，临界点处线性化在正交坐标中具有 $\lambda$ 个负特征值和 $n-\lambda$ 个正特征值，局部向量场指数为

将这些符号相加得到 Morse 临界点交替计数，并与 Euler 示性数相连。

引理还给出临界点附近的稳定、非稳定方向模型，但构造这些流形还需选择度量并研究相应的非线性梯度流。局部稳定流形定理只使用平衡点附近的流，不要求整个向量场全局完备；若继续研究远处轨道或不同临界点之间的连接，还须检查相应的存在性与紧性条件。二次正规形本身不提供这些全局轨线信息。