Morse 引理 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $f:M^n\to\mathbb R$ 光滑， $p$ 是指标为 $\lambda$ 的非退化临界点，也就是Morse 函数所允许的局部临界点。Morse 引理断言，存在以 $p$ 为原点的光滑坐标 $(x_1,\ldots,x_n)$ ，使

f(x)=f(p)-x_1^2-\cdots-x_\lambda^2 +x_{\lambda+1}^2+\cdots+x_n^2

在整个坐标邻域内精确成立。坐标的排列和尺度不唯一，但负平方项数 $\lambda$ 由 Hessian 的惯性指数唯一决定。

结论比二阶 Taylor 公式强：右端没有 $O(\lVert x\rVert^3)$ 余项。证明先利用 $df_p=0$ 把

f(x)-f(p)=\sum_{i,j}x_ix_jh_{ij}(x)

写成光滑对称矩阵函数；在原点， $(h_{ij}(0))$ 与 Hessian 只差非零常数因子。随后逐步完成平方，并反复使用逆函数定理确认新变量确实构成局部光滑坐标。非退化性保证每一步要除的主元可选为非零。

本页陈述针对流形内部点。边界临界点的正规形需区分梯度横穿边界、限制函数的临界性及半空间坐标，不能把一个普通二次坐标球截半后当作完整边界理论。

直觉

一般函数在临界点附近只有“近似像二次型”；Morse 引理说，只要 Hessian 没有零方向，所有三阶及更高阶弯曲都能被一次非线性换坐标吸收到坐标网格里。局部拓扑因此只看正负方向数，而不看高阶系数的具体大小。

负平方方向是从临界值向下打开的方向，正平方方向是向上封闭的方向。越过临界值时，负方向组成的 $\lambda$ 维圆盘成为新把手的核心；正方向对应余核圆盘。指标不是“有几个变量带负号”的坐标偶然，而是对称型在任意坐标下保持的惯性。

非退化性还使临界点孤立：标准形的微分为 $(-2x_1,\ldots,-2x_\lambda,2x_{\lambda+1},\ldots,2x_n)$ ，只在原点消失。反过来，孤立并不足以构造这种坐标，因为高阶平顶仍可能没有二次曲率。

例子与边界

考虑原点附近的函数

f(x,y)=x^2+x^3-y^2.

其梯度在原点为零，Hessian 为 $\operatorname{diag}(2,-2)$ ，所以指标为 $1$ 。在 $|x|<1$ 时定义

u=x\sqrt{1+x}, \qquad v=y.

映射 $(x,y)\mapsto(u,v)$ 在原点的 Jacobian 是单位矩阵，故由逆函数定理是局部坐标；而

f=u^2-v^2

精确成立。三次项并非被忽略，而是被吸收到 $u$ 的非线性尺度中。这是 Morse 引理机制的可复算一维完成平方版本。

若改为 $g(x,y)=x^4-y^2$ ，原点 Hessian 为 $\operatorname{diag}(0,-2)$ ，秩只有一。任何光滑坐标变换在临界点都以可逆矩阵对 Hessian 作合同变换，不能把秩一变成非退化秩二，因此不可能把 $g$ 化为 $\pm u^2\pm v^2$ 。虽然原点仍是孤立临界点，缺失的二次方向必须由四次项控制。

引理是局部的。球面高度函数在南北极各有二次标准形，却不可能用同一张坐标图覆盖整球，也不能由两个局部指标单独恢复临界点之间的流线连接。若临界值相同，引理仍分别成立，但构造全局把手分解时需同时处理同一层的多个把手或先作小扰动分开临界值。

推论与应用

在不含其他临界点的小邻域中，标准形把子水平集写成

-\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2\le c-f(p), \qquad u\in\mathbb R^\lambda, \quad v\in\mathbb R^{n-\lambda}.

当右端从负变正，新增拓扑集中在 $u$ 方向的 $D^\lambda$ ，由此导出附着 $\lambda$ -把手或至少附着 $\lambda$ -胞腔的结论。

对梯度场 $\nabla f$ ，临界点处线性化在正交坐标中具有 $\lambda$ 个负特征值和 $n-\lambda$ 个正特征值，局部向量场指数为

\operatorname{sgn}\det\operatorname{Hess}_p(f)=(-1)^\lambda.

将这些符号相加得到 Morse 临界点交替计数，并与 Euler 示性数相连。

引理还给出临界点附近的稳定、非稳定方向模型，但真正的稳定流形定理需要选择度量、研究非线性梯度流并证明全局存在；二次正规形只负责局部坐标，不自动给不同临界点之间的轨线结构。

参考资料

John Milnor, Morse Theory, Princeton University Press, 1963, Lemma 2.2 and §3.
Yukio Matsumoto, An Introduction to Morse Theory, American Mathematical Society, 2002, Ch. 2, Morse lemma.
Morris W. Hirsch, Differential Topology, Springer, 1976, Ch. 6, normal forms at nondegenerate critical points.

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