把手附着 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $W$ 是光滑 $n$ 维流形并有边界。约定 $D^0$ 为一点、 $S^{-1}=\partial D^0=\varnothing$ ，使端点指标的公式也有意义。指标为 $\lambda$ 的 $n$ 维把手是

H^\lambda=D^\lambda\times D^{n-\lambda}, \qquad 0\le\lambda\le n.

它的附着区为

A^\lambda=\partial D^\lambda\times D^{n-\lambda} =S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}.

选择一个到无边界流形 $\partial W$ 的允许定义域带边界的光滑嵌入

\varphi:A^\lambda\hookrightarrow\partial W,

并利用边界 collar 识别光滑结构，就可按商拓扑形成 $W\cup_\varphi H^\lambda$ ，再把粘合处的角光滑化。 $S^{\lambda-1}\times\{0\}$ 称附着球面， $\{0\}\times S^{n-\lambda-1}$ 称腰球面。 $\lambda=0$ 时附着区为空，相当于新添一个 $n$ -圆盘； $\lambda=n>0$ 时，附着区是整个 $\partial D^n=S^{n-1}$ ，附着后这部分从新边界中消失。 $n=0$ 时只有新增一点的 $0$ -把手。

忽略圆角的 collar 记号，新边界的变化是从 $\partial W$ 删去附着区的内部 $S^{\lambda-1}\times\operatorname{Int}D^{n-\lambda}$ ，再沿共同角 $S^{\lambda-1}\times S^{n-\lambda-1}$ 换入 $D^\lambda\times S^{n-\lambda-1}$ 。这正是对边界做一次 $(\lambda-1)$ -维手术；附着映射中 $D^{n-\lambda}$ 的放置已经包含法向标架数据。

Morse 把手定理的标准无边界版本如下：设 $f:M^n\to\mathbb R$ 光滑， $a<b$ 是正则值，紧带 $f^{-1}([a,b])$ 内恰有一个非退化临界点 $p$ ，指标为 $\lambda$ 。那么上子水平集 $M^b=\{f\le b\}$ 可由 $M^a$ 附着一个 $\lambda$ -把手得到，且改动限制在这条紧带内。局部核心来自Morse 引理的负平方圆盘；沿没有临界点的区域积分梯度型向量场的流，把局部模型的附着区运送到较低正则水平面。若 $M$ 本身有边界，还须排除相关边界临界点，并规定梯度型场在纵向边界上的切向或出入条件，普通版本不会自动处理半把手。

直觉

把手是一块有两组方向的厚圆盘。 $D^\lambda$ 是核心方向，决定新拓扑的维数； $D^{n-\lambda}$ 负责把核心加厚成 $n$ 维流形。附着时只把核心圆盘的边界连同全部厚度粘到旧边界，核心内部成为真正新增部分。

Morse 标准形

f(p)-\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2

中 $u\in\mathbb R^\lambda$ 。临界值以下，小邻域避开 $u=0,v=0$ 的核心；越到以上， $u$ 方向的圆盘被纳入子水平集，所以把手指标必须等于负方向数，而不是环境余维或临界点个数。

把手的指标只描述局部零件。最终流形还取决于附着球面落在边界哪一分支、法向标架如何扭转，以及不同把手的顺序和滑移；仅列一串指标通常不足以确定微分同胚类型。

例子与边界

在二维中， $0$ -把手是圆盘 $D^2$ 。向其边界的两段不交小弧附着一个 $1$ -把手

D^1\times D^1,

附着区 $S^0\times D^1$ 正是矩形的左右两条边。若采用保持定向的普通附着，圆盘变成环带；Euler 示性数从 $1$ 变为 $0$ 。更一般地，当 $W$ 具有有限 CW 同伦型（特别是 $W$ 紧致）时，Euler 示性数的胞腔计数给出

\chi(W\cup H^\lambda)=\chi(W)+(-1)^\lambda,

所以二维 $1$ -把手使 $\chi$ 减一。若改变附着的扭转，可得到 Möbius 带，说明相同指标和相同“两个脚”并不确定可定向性。

在一般 $n$ 维， $1$ -把手可以连接两个不同边界分支，也可让同一分支增加一个通道； $n$ -把手则只有当边界中存在合适嵌入的 $S^{n-1}$ 时才能封口。附着映射若自交，就不能得到流形邻域：粘合处会有多个半空间分支共享同一点，因此“连续映射一只球面”不能替代嵌入。

把手附着后自然先得到带角流形，必须用 collar 做光滑化。角的具体圆整方式不改变相对边界的微分同胚类型，但若没有边界 collar 或附着区不满足乘积相容，不能直接宣称商空间已是光滑流形。

Morse 定理还要求临界带紧致且无其他临界点。非适当函数可能让拓扑从无穷远处进入，即使区间内没有临界点，子水平集也未必保持微分同胚；这是删除适当性会漏掉的全局边界。

推论与应用

按临界值排列紧闭流形上的 Morse 函数，便得到有限把手分解。把每个 $D^{n-\lambda}$ 厚度收缩掉，可见附着 $\lambda$ -把手在同伦型上等价于附着一个 $\lambda$ -胞腔；因此临界点数给 CW 链群的生成元，并导出 Morse 不等式。

把手的对偶来自交换核心与余核心：把同一条配边倒置观察， $\lambda$ -把手成为 $(n-\lambda)$ -把手。腰球面记录对偶附着位置，也是把手消去的关键；当后附的 $(\lambda+1)$ -把手之附着球面与先附的 $\lambda$ -把手之腰球面横截于恰好一点，并满足相应标架条件时，两者可相消。两类球面的次序不能倒置：它们在中间边界中的维数分别为 $\lambda$ 与 $n-\lambda-1$ ，和恰为 $n-1$ 。

三、四维拓扑常用 Kirby 图编码附着球面和标架（framing），但图示只是具体维数中的记账语言，不是把手定义本身。高维手术、h-配边与流形分类同样以此局部零件为基础，并额外依赖横截、Whitney 圆盘和基本群条件。

参考资料

John Milnor, Morse Theory, Princeton University Press, 1963, §3, change of homotopy type at a critical level; the smooth handle refinement uses the same local model and gradient flow.
Yukio Matsumoto, An Introduction to Morse Theory, American Mathematical Society, 2002, Chs. 3–4, handle attachment.
Robion C. Kirby, The Topology of 4-Manifolds, Springer, 1989, Ch. 1, handles and attaching data.

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