向量场的流

形式陈述 ​

设 $X$ 是光滑流形 $M$ 上的光滑向量场公理库向量场与 Lie 括号Vector field · Lie bracket of vector fields光滑切向量场及其由导子交换子定义、衡量局部流不对易性的 Lie 括号。。过点 $p$ 的积分曲线是满足

$${\gamma }_p(0)=p,{\dot{\gamma }}_p(t)=X_{{\gamma }_p(t)}$$

的曲线。局部坐标把它化为常微分方程公理库常微分方程Ordinary differential equation · ODE未知函数及其单一自变量导数组成的方程。，局部存在唯一性给每个 $p$ 一条唯一的最大积分曲线。把这些曲线合在一起得到最大局部流

$$\mathrm{\Phi }:\mathcal{D}⟶M,\mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}\times M,\mathrm{\Phi }(t,p)={\gamma }_p(t),$$

其中 $\mathcal{D}$ 是包含 $\{0\}\times M$ 的开集，并满足

$${\mathrm{\Phi }}_0={\mathrm{id}}_M,{\mathrm{\Phi }}_{t+s}(p)={\mathrm{\Phi }}_t({\mathrm{\Phi }}_s(p))$$

只要等式两边均有定义。对固定 $t$，${\mathrm{\Phi }}_t$ 在其定义域上是到 ${\mathrm{\Phi }}_{-t}$ 定义域的局部微分同胚，逆为 ${\mathrm{\Phi }}_{-t}$。若 $\mathcal{D}=\mathbb{R}\times M$，则称 $X$ 完整，此时 $\{{\mathrm{\Phi }}_t{\}}_{t\in \mathbb{R}}$ 是 $\mathbb{R}$ 在 $M$ 上的光滑作用。

直觉 ​

向量场给每点一支瞬时速度箭头，流把这些箭头积分为随时间移动点的位置。唯一性保证同一初值不会产生两条不同轨道，也使“先流动 $s$、再流动 $t$”与一次流动 $s+t$ 相同。局部群律不是额外公理，而是自治方程的时间平移性与解唯一性共同带来的结果。

“最大”表示每条积分曲线已延伸到不能再延伸的开时间区间；它不表示区间必为整条实线。流的定义域必须同时记录时间和初始点，因为不同初值可能在不同时间抵达流形边界或逃向无穷。

例子与边界 ​

在 $\mathbb{R}$ 上取

$$X=x\frac{\partial }{\partial x}.$$

积分曲线满足 $x^{\prime }=x$，所以

$${\mathrm{\Phi }}_t(x)=e^{t}x.$$

它对所有 $t,x$ 有定义，故 $X$ 完整。相反，$X=x^2{\partial }_x$ 的解为

$${\mathrm{\Phi }}_t(x)=\frac{x}{1-tx}.$$

当 $tx=1$ 时分母为零，非零初值会在有限时间爆破；向量场虽处处光滑，却不完整。

局部流的群律只在组合有定义时成立，不能把 ${\mathrm{\Phi }}_t$ 无条件写成全局自同构。积分曲线也不能相交后再分叉：若两条曲线在某时刻到达同一点，唯一性迫使它们在共同定义区间内只是时间平移。非自治方程 $x^{\prime }=f(t,x)$ 一般需要扩充时间坐标后才能用本页的自治流语言。

紧流形上的光滑向量场总完整，因为轨道不能在有限时间逃出所有紧集；非紧流形则没有这个保证。完整性是全局结论，不能从局部 Lipschitz 或Picard–Lindelöf 定理公理库Picard–Lindelöf 存在唯一性定理Picard-Lindelof theorem · Cauchy-Lipschitz theorem连续且对状态变量局部一致 Lipschitz 的向量场给出常微分方程初值问题的唯一局部解。单独推出。

推论与应用 ​

流把微分方程的轨道组织成局部一参数变换，可用来定义不变集、轨道、稳定性和连续对称。向量场 $X$ 对函数的作用也可由流恢复：

$$X_{p}f={\frac{d}{dt}|}_{t=0}f({\mathrm{\Phi }}_t(p)).$$

两个向量场的 Lie 括号衡量相应局部流交换次序的二阶偏差；括号为零时，在适当局部条件下两流对易。Riemann 几何中，测地线流把位置和速度放到切丛上演化；动力系统则把完整流视为连续时间系统的基本对象。

参考资料

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013, Ch. 9, integral curves and flows.
• V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations, 3rd ed., Springer, 1992, Chs. 1–2, phase flows and autonomous systems.