切丛与余切丛

形式陈述 ​

设 $M$ 是 $n$ 维光滑流形。它的切丛与余切丛分别是互不相交并

$$TM=\underset{p\in M}{⨆}{T}_{p}M,T^{\ast }M=\underset{p\in M}{⨆}{T}_p^{\ast }M,$$

投影把 $T_{p}M$ 或 $T_p^{\ast }M$ 中的元素送到 $p$。若 $(U,x^1,\dots ,x^n)$ 是坐标图，每个 $v\in T_{p}M$ 唯一写成

$$v=\sum _{i=1}^n{v}^i{\frac{\partial }{\partial x^i}|}_p,$$

于是 $(p,v)\mapsto (x^1(p),\dots ,x^n(p),v^1,\dots ,v^n)$ 给 $TM$ 的局部坐标。余切向量写成 $\xi =\sum _i{\xi }_{i}d{x}^i{|}_p$，得到对应坐标 $(x^i,{\xi }_i)$。这些坐标的换图规律由 Jacobian 及其逆转置给出，因此 $TM,T^{\ast }M$ 都是秩 $n$ 的光滑向量丛公理库光滑向量丛Vector bundle · Smooth vector bundle · 向量丛纤维为同维向量空间、并在流形上局部以光滑保线性方式平凡化的丛。。

光滑向量场是切丛的光滑截面 $X:M\to TM$；光滑 $1$-形式是余切丛的光滑截面。这里每个纤维 $T_p^{\ast }M$ 是对偶空间公理库对偶空间Dual space给定向量空间到标量域的全部线性泛函组成的向量空间。，通过自然配对 $\xi (v)$ 与 $T_{p}M$ 相联系。

直觉 ​

单个切空间公理库切空间Tangent space在一点由曲线速度或函数导子等价定义的局部线性空间。只描述一个点附近的一阶速度。切丛把所有点的允许速度连成一个新的光滑空间，使“在每点选一支速度箭头”成为截面。余切丛则收集在每点读取速度线性分量的测量器；坐标微分 $d{x}^i$ 是局部对偶基。

切坐标与余切坐标方向相反地变化。坐标基 $\partial /\partial x^i$ 随 Jacobian 换基，系数 $v^i$相应补偿；对偶基必须用逆转置变化，才能保持标量配对 $\xi (v)$ 不依赖坐标。这正解释了向量与协向量为何不能仅凭一串坐标数值混同。

例子与边界 ​

$T{\mathbb{R}}^n$ 由标准坐标给出全局同构 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n$。圆周 $S^1$ 上处处非零的切向量场给出 $T{S}^1\cong S^1\times \mathbb{R}$。球面 $S^2$ 的切丛在每个小坐标片上都平凡，却不存在处处非零的连续切向量场；这说明局部平凡不推出全局平凡，而绝不表示 $S^2$ 的切丛“不是向量丛”。

$TM$ 作为流形的维数是 $2n$，但作为 $M$ 上向量丛的秩是 $n$，二者不可混为一谈。即使 $M$ 的每个切空间都抽象同构于 ${\mathbb{R}}^n$，也不能据此断言 $TM=M\times {\mathbb{R}}^n$；全局同构还需要相容的全局标架。

没有附加结构时，$T_{p}M$ 与 $T_p^{\ast }M$ 之间不存在自然同构。选定Riemann 度量公理库Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。后才可用 $v\mapsto g_p(v,\cdot )$ 降指标。把向量和协向量直接等同，会把度量选择错误地藏进记号。

推论与应用 ​

切丛的截面形成向量场，余切丛的外幂截面形成微分形式公理库微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。。光滑映射 $F:M\to N$ 的微分逐点给出 $d{F}_p:T_{p}M\to T_{F(p)}N$，整体上是覆盖 $F$ 的丛映射；其对偶则使形式沿 $F$ 反向拉回。切丛因此统一承载微分方程的速度、流形映射的一阶近似和几何中的方向数据。

向量场与 Lie 括号公理库向量场与 Lie 括号Vector field · Lie bracket of vector fields光滑切向量场及其由导子交换子定义、衡量局部流不对易性的 Lie 括号。只需要切丛及光滑结构；若进一步选择联络公理库联络与协变导数Connection · Covariant derivative在向量丛上按方向微分截面，并以 Leibniz 规则控制函数系数的结构。，才能沿曲线比较不同纤维中的向量。余切丛还带有典范一形式与辛结构，是 Hamilton 力学的重要相空间。这些结构都从“各点线性空间被光滑粘合”这一基本事实出发。

参考资料

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013, Chs. 3 and 10, tangent and cotangent bundles.
• Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, 2nd ed., Springer, 2011, Chs. 8–10, tangent vectors, bundles, and differential forms.