切丛与余切丛

单个切空间理路切空间Tangent space在一点由曲线速度或函数导子等价定义的局部线性空间。只描述一个点附近的一阶速度。切丛把所有点的允许速度连成一个新的光滑空间，使“在每点选一支速度箭头”成为截面。余切丛则收集在每点读取速度线性分量的测量器；坐标微分 $d{x}^i$ 是局部对偶基。

切坐标与余切坐标按对偶规则变化。若新底坐标为 $y=y(x)$，记 $J=(\partial y^a/\partial x^i)$，则同一向量的系数列满足 $v_y=J{v}_x$，同一余向量的系数列满足 ${\xi }_y=J^{-T}{\xi }_x$。因此 ${\xi }_y^T{v}_y={\xi }_x^T{v}_x$。这是换基理路换基与坐标变换Change of basis · Coordinate transformation用可逆过渡矩阵在不同基之间转换向量坐标与算子矩阵。与对偶配对的相容性；须分清坐标基本身与同一向量在该基下的系数，不能把它们的变换方向混写。

$T{\mathbb{R}}^n$ 由标准坐标给出全局同构 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n$。圆周 $S^1$ 上处处非零的切向量场给出 $T{S}^1\cong S^1\times \mathbb{R}$。球面 $S^2$ 的切丛在每个小坐标片上都平凡，却不存在处处非零的连续切向量场；这说明局部平凡不推出全局平凡，而绝不表示 $S^2$ 的切丛“不是向量丛”。

$TM$ 作为流形的维数是 $2n$，但作为 $M$ 上向量丛的秩是 $n$，二者不可混为一谈。即使 $M$ 的每个切空间都抽象同构于 ${\mathbb{R}}^n$，也不能据此断言 $TM=M\times {\mathbb{R}}^n$；全局同构还需要相容的全局标架。

一般不能在不选择附加结构时自然识别 $T_{p}M$ 与 $T_p^{\ast }M$。选定Riemann 度量理路Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。后才可用 $v\mapsto g_p(v,\cdot )$ 降指标。把向量和协向量直接等同，会把度量选择错误地藏进记号。

切丛的截面形成向量场，余切丛的外幂截面形成微分形式理路微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。。光滑映射 $F:M\to N$ 的微分逐点给出 $d{F}_p:T_{p}M\to T_{F(p)}N$，整体上是覆盖 $F$ 的丛映射；其对偶则使形式沿 $F$ 反向拉回。切丛因此统一承载微分方程的速度、流形映射的一阶近似和几何中的方向数据。

向量场与 Lie 括号理路向量场与 Lie 括号Vector field · Lie bracket of vector fields光滑切向量场及其由导子交换子定义、衡量局部流不对易性的 Lie 括号。只需要切丛及光滑结构；若进一步选择联络理路联络与协变导数Connection · Covariant derivative用 Leibniz 规则定义向量丛上的微分，以单位分解构造联络，再用线性方程的平行移动证明光滑可缩底空间上的丛平凡。，才能沿曲线比较不同纤维中的向量。余切丛还带有典范一形式与辛结构理路余切丛的典范一形式Tautological one-form · Liouville one-form on a cotangent bundle以余向量评价定义无坐标的典范一形式，核验非线性坐标变换、自然提升和图的拉回。，是 Hamilton 力学的重要相空间。这些结构都从“各点线性空间被光滑粘合”这一基本事实出发。

典范形式将总空间点携带的余向量作用于投影后的切向量，无需选度量。由截面拉回 $s_{\alpha }^{\ast }\theta =\alpha$ 可进一步判定Lagrangian图理路Lagrange 子流形Lagrangian submanifold以半维与拉回辛形式为零定义Lagrangian，比较恰当图、闭非恰当图和抛物线余法丛。恰对应闭一形式；抛物线的余法丛则给出一个不覆盖整个底空间的Lagrangian例子。