Levi–Civita 存在唯一性定理

形式陈述 ​

设 $(M,g)$ 是光滑 Riemann 流形。存在唯一的切丛联络公理库联络与协变导数Connection · Covariant derivative在向量丛上按方向微分截面，并以 Leibniz 规则控制函数系数的结构。 $\mathrm{\nabla }$ 同时满足：

1. 无挠：

$${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y];$$

2. 与度量相容：

$$Xg(Y,Z)=g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z)$$

对任意光滑向量场公理库向量场与 Lie 括号Vector field · Lie bracket of vector fields光滑切向量场及其由导子交换子定义、衡量局部流不对易性的 Lie 括号。 $X,Y,Z$ 成立。该唯一联络称 $g$ 的 Levi–Civita 联络。

两项条件合并得到 Koszul 公式：

$$\begin{array}{rl}2g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)=& Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)-Zg(X,Y)\\ & -g(X,[Y,Z])+g(Y,[Z,X])+g(Z,[X,Y]).\end{array}$$

证明骨架由该公式同时给出。唯一性方面，右侧完全由 $g$ 和 Lie 括号决定，而 $g$ 非退化，所以它决定 ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$。存在性方面，反向使用公式定义 ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$：先验证右侧对 $Z$ 在 $C^{\mathrm{\infty }}(M)$ 上线性，因而逐点对应唯一向量；再逐项核验联络的线性与 Leibniz 规则、度量相容性和无挠性。

在坐标 $(x^i)$ 中，若 $(g^{ij})$ 是 $(g_{ij})$ 的逆矩阵，则

$${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=\frac{1}{2}{g}^{k\ell }({\partial }_i{g}_{j\ell }+{\partial }_j{g}_{i\ell }-{\partial }_{\ell }{g}_{ij}).$$

这只是唯一联络在坐标标架中的表达，Christoffel 符号本身不是张量。

直觉 ​

Riemann 度量公理库Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。规定每点的长度和角度，但比较不同点的向量仍需要联络。度量相容要求平行移动保持内积；无挠要求坐标方向之间没有额外的人为扭转。两个条件一起恰好消除一般联络的自由度。

Koszul 公式是这项唯一性的“解方程结果”：把度量相容公式做循环置换，再用无挠条件替换交换差，就能把所有未知项消成单个 $g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)$。

例子与边界 ​

Euclidean 空间的标准度量在直角坐标中满足 $g_{ij}={\delta }_{ij}$，所有一阶导数为零，所以 ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=0$，Levi–Civita 联络就是普通方向导数。换到平面极坐标，

$$g=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2,$$

会得到

$${\mathrm{\Gamma }}_{\theta \theta }^r=-r,{\mathrm{\Gamma }}_{r\theta }^{\theta }={\mathrm{\Gamma }}_{\theta r}^{\theta }=\frac{1}{r}.$$

非零符号来自坐标标架变化，不表示平面产生曲率。

度量相容单独不保证唯一：可加入适当的反对称挠率项而仍保持内积。无挠单独也不保证唯一，因为不同度量可有不同无挠联络。两项假设缺一不可。

Christoffel 符号可在一点通过正常坐标消去，但不能据此断言联络在邻域恒为零，更不能断言曲率消失。定理也不是说任意向量丛都有 Levi–Civita 联络；无挠条件使用切丛上的 Lie 括号，且选择依赖给定 Riemann 度量。

推论与应用 ​

测地线公理库测地线Geodesic局部保持平行速度并在短区间上实现长度驻值的曲线。由

$${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }}\dot{\gamma }=0$$

定义，因而 Riemann 度量通过 Levi–Civita 联络唯一给出测地线方程和平行移动。该联络的协变微分交换失败形成Riemann 曲率张量公理库Riemann 曲率张量Riemann curvature tensor · Curvature tensor以协变微分不交换刻画 Riemann 流形内蕴曲率的四阶张量。，把度量的一阶导数组织为联络、二阶几何组织为曲率。

一般联络页面负责 Leibniz 规则、沿曲线导数和平行移动；本页只承担“Riemann 度量为何选出唯一联络”的存在唯一性定理。把两者分开，可避免把任意 Christoffel 符号都误当成 Levi–Civita 数据。

参考资料

• John M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer, 1997, Ch. 5, the Levi–Civita connection.
• Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992, Ch. 2, Riemannian connections and the Koszul formula.