形式陈述

光滑流形 $M$$M$ 上的 Riemann 度量是每点切空间上的实内积族

$$ g_p:T_pM\times T_pM\to\mathbb R, $$$$g_p:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb{R},$$

满足对称、正定，并随 $p$$p$ 光滑变化：对任意光滑向量场 $X,Y$$X,Y$，函数 $p\mapsto g_p(X_p,Y_p)$$p\mapsto g_p(X_p,Y_p)$ 光滑。在局部坐标中，$g$$g$ 由对称正定矩阵函数 $(g_{ij})$$(g_{ij})$ 表示。它给曲线 $\gamma$$\gamma$ 定义长度

$$ L(\gamma)=\int\sqrt{g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}\,dt, $$$$L(\gamma )=\int \sqrt{g_{\gamma (t)}(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))}dt,$$

并在每个连通分支内由曲线长度的下确界诱导距离；不同分支之间若统一记号，可把距离视为 $+\infty$$+\mathrm{\infty }$。

直觉

Riemann 度量在每个无限小切平面上放置一把平滑变化的尺子和量角器，再沿曲线积分这些局部长度得到全局几何。

例子与边界

Euclidean 空间的标准点积给平坦度量；球面继承环境点积得到圆度量。任意光滑流形都存在 Riemann 度量，但选择通常不唯一。在每个连通分支上，Riemann 度量诱导的距离与原流形拓扑相容；但并非任意给定的度量空间距离都来自光滑内积场。伪 Riemann 度量允许不定符号，广义相对论中的 Lorentz 度量因此不属于本条正定定义。局部坐标矩阵会按张量规律变换，不能把固定坐标系中的单位矩阵当作全局不变量。

推论与应用

Riemann 度量产生体积、梯度、测地线、曲率和 Laplace–Beltrami 算子，把微积分、拓扑和几何分析连接起来。

参考资料

• Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992，Chs. 1–2, Riemannian metrics and length。
• Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976，Chs. 2–3, first fundamental form and intrinsic metric。