Riemann 度量

Riemann 度量在每个切空间放置一个随点光滑变化的内积，使抽象流形获得无穷小长度与角度。对曲线速度积分得到全局长度，再取路径长度下确界得到距离；每一点由二次型公理库二次型Quadratic form把向量映为二次齐次标量的函数，并通过极化与对称双线性形式相联系。 $v\mapsto g_p(v,v)$ 测量切向速度。度量不是坐标矩阵本身，换坐标时矩阵按张量规律变化而几何量保持不变。

Euclidean 空间的标准点积给平坦度量；球面继承环境点积得到圆度量。任意光滑流形都存在 Riemann 度量，但选择通常不唯一。在每个连通分支上，Riemann 度量诱导的距离与原流形拓扑相容；但并非任意给定的度量空间距离都来自光滑内积场。伪 Riemann 度量允许不定符号，广义相对论中的 Lorentz 度量因此不属于本条正定定义。局部坐标矩阵会按张量规律变换，不能把固定坐标系中的单位矩阵当作全局不变量。

同一欧氏度量在极坐标中写成 $d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2$，坐标矩阵虽改变，实际长度不变。若某点的二次型退化，某个非零切向量会得到零长度；若出现负方向，则进入伪 Riemann 情形。这两者都不满足本条的正定要求。

切丛公理库切丛与余切丛Tangent bundle · Cotangent bundle把流形各点的切空间及其对偶分别粘合成秩等于流形维数的光滑向量丛。的每根纤维配正定内积公理库内积空间Inner product space带正定对称双线性形式或正定 Hermitian 半双线性形式的向量空间。形成 Riemann 度量。一般联络公理库联络与协变导数Connection · Covariant derivative在向量丛上按方向微分截面，并以 Leibniz 规则控制函数系数的结构。规定如何比较不同点的切向量；Levi–Civita 定理公理库Levi–Civita 存在唯一性定理Levi-Civita connection · Fundamental theorem of Riemannian geometry每个 Riemann 度量唯一确定同时无挠且与度量相容的切丛联络。说明无挠与度量相容两条件唯一选出所需联络，继而定义测地线公理库测地线Geodesic局部保持平行速度并在短区间上实现长度驻值的曲线。与Riemann 曲率公理库Riemann 曲率张量Riemann curvature tensor · Curvature tensor以协变微分不交换刻画 Riemann 流形内蕴曲率的四阶张量。。任意光滑流形上度量的存在可由单位分解公理库单位分解Partition of unity用局部有限、非负且和为一的光滑函数族从属于开覆盖并粘合局部构造。把局部 Euclidean 内积平滑粘合得到。