法丛

子流形内的切向量只会沿着子流形挪动，不会把点推出它；真正描述“离开子流形”的是环境切向量模掉所有切向分量后的剩余。商空间做的正是这件事。选择度量以后，每个等价类有唯一的正交代表，于是抽象的“模切向”变成可以画出的法向箭头。

法丛局部总像 $U\times {\mathbb{R}}^{n-m}$，但整体可能扭转。每一根纤维都同构于 Euclidean 空间并不保证能连续选出全局法向标架；这种扭转决定邻域如何围绕子流形粘合，也是自交数、Euler 类和管状邻域的几何来源。

法丛以定义域 $M$ 为底。即使对浸入也能逐点取商 $F^{\ast }TN/dF(TM)$，若像有自交，同一个环境点会对应多根来自不同参数点的法纤维，不能把它们直接当成像子集的单一邻域坐标；嵌入条件在后续管状定理中不可替代。

标准圆周 $S^1\subset {\mathbb{R}}^2$ 的切向由

张成，法向由

张成。$n(\theta )$ 是处处非零的全局法截面，因此

同理，单位球面 $S^m\subset {\mathbb{R}}^{m+1}$ 由位置向量 $p$ 平凡化其秩一法丛。这里平凡性来自全局可选的外法向，并非所有余维一嵌入都自动如此。

把 Möbius 带看成非平凡实线丛的单位圆盘丛，其零截面是一条嵌入圆周；等价地，也可把带的开内部识别为该线丛的总空间。沿中心圈走一周，横向纤维坐标反号，所以零截面的法线丛正是非平凡 Möbius 线丛；不存在处处非零的连续法截面。这个例子说明“余维一”只保证每根纤维是一维，不保证有全局左右两侧。

对八字形浸入 $S^1\looparrowright {\mathbb{R}}^2$，参数圆周上的法线丛仍可定义，但自交点处有两条不同切线与两条法线。把两根纤维都指数推出会在任意小尺度重叠，因此没有以像集为零截面的普通管状邻域。

若 $M$ 有边界而嵌入不整齐，边界附近的环境邻域还包含沿切向越过端点的点，单靠普通法纤维无法覆盖。此时需同时使用边界 collar、半法丛或整齐嵌入版本。

法丛给出嵌入的一阶邻域模型。选环境度量后，法向指数映射把零截面附近的短法向量送到 $N$；管状邻域定理说明缩小到合适开邻域后它是微分同胚。于是子流形附近的问题可改写为向量丛零截面附近的问题，并用纤维缩放构造形变收缩。

在法丛有系数定向时，嵌入的Gysin映射理路嵌入的 Gysin 映射Gysin map for an embedding · Cohomological pushforward for an embedding用法丛Thom类定义嵌入的Gysin映射，证明投影与自交公式，并计算CP1在CP2中的推前。把子流形的类与法向Thom类相乘，再通过管状邻域送入环境。对 ${\mathbb{CP}}^1\subset {\mathbb{CP}}^2$，法丛是 $\mathcal{O}(1)$；由此得到超平面类的自交数为1，而不是仅由余维猜测一个答案。

法丛的特征类测量其扭转。当闭流形 $M$ 与法丛都已定向时，横截截面的零点集代表 Euler 类的 Poincaré 对偶；在 $\mathrm{rank}\nu (M)=\dim M$ 时，零截面的自交数由法丛 Euler 数控制。若 $M\hookrightarrow {\mathbb{R}}^N$，总有

但这本身不表示 $M$ 稳定平行化，因为 $\nu (M)$ 可能非平凡。稳定平行化的定义是存在某个平凡丛 ${\epsilon }^k$ 使 $TM\oplus {\epsilon }^k$ 平凡；在 Euclidean 嵌入下，这等价于法丛稳定平凡。这里必须区分“与某个互补丛的直和为平凡丛”和“与平凡丛的直和为平凡丛”。

余维一时，法丛可平凡化等价于存在全局不消失法向场；在定向环境中，这又与子流形的双侧性紧密相关。但“可定向子流形必双侧”需要环境定向及适当的余维假设，不能脱离条件泛化。