形式陈述

二维 Riemann 流形 $(M,g)$$(M,g)$ 在点 $p$$p$ 的高斯曲率是唯一二维切平面的截面曲率。取 $T_pM$$T_{p}M$ 的正交基 $(e_1,e_2)$$(e_1,e_2)$；在采用“球面曲率为正”的曲率张量符号约定时，可写为

$$ K(p)=\langle R(e_1,e_2)e_2,e_1\rangle, $$$$K(p)=⟨R(e_1,e_2)e_2,e_1⟩,$$

其中 $R$$R$ 为 Riemann 曲率张量；采用相反的 $R$$R$ 符号约定时，上式整体变号。若曲面嵌入 $\mathbb R^3$${\mathbb{R}}^3$，则

$$ K=\det S=\kappa_1\kappa_2, $$$$K=\det S={\kappa }_1{\kappa }_2,$$

即形算子的行列式或两个主曲率之积。Gauss 绝妙定理表明，虽然后一公式看似依赖嵌入，$K$$K$ 实际完全由第一基本形式决定。

直觉

高斯曲率衡量小邻域相对平面的内在弯曲：正曲率使测地线趋向汇聚，负曲率使其发散，零曲率局部像可展开的平面。

例子与边界

半径 $r$$r$ 的球面有 $K=1/r^2$$K=1/r^2$，Euclidean 平面与圆柱面有 $K=0$$K=0$，双曲平面为常负曲率。圆柱在环境中弯曲却高斯曲率为零，说明高斯曲率不是“看起来弯了多少”，而是内蕴量。对高于二维的流形，曲率依赖所选二维切平面，需使用截面曲率而非单一高斯标量。主曲率的符号会随法向改变，但乘积 $K$$K$ 不变。

推论与应用

高斯曲率连接局部度量与全局拓扑，经 Gauss–Bonnet 控制欧拉示性数，并用于曲面分类、几何 PDE 和曲率流。

参考资料

• Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992，Chs. 3–4, curvature tensor and sectional curvature。
• Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976，Chs. 3–4, Gaussian curvature and Theorema Egregium。