高斯曲率

曲面在一点沿不同切向方向有不同法曲率，主曲率是极值方向，高斯曲率为二者乘积。正值表示各方向同侧弯曲，负值表示鞍形，零值表示至少有一个主方向不弯。Gauss 的卓越定理说明这个看似依赖外部嵌入的量实际上可由曲面内部距离测量恢复。

半径 $r$ 的球面有 $K=1/r^2$，Euclidean 平面与圆柱面有 $K=0$，双曲平面为常负曲率。圆柱在环境中弯曲却高斯曲率为零，说明高斯曲率不是“看起来弯了多少”，而是内蕴量。对高于二维的流形，曲率依赖所选二维切平面，需使用截面曲率而非单一高斯标量。主曲率的符号会随法向改变，但乘积 $K$ 不变。

图形曲面 $z=x^2+y^2$ 在原点两条主曲率同号，因而高斯曲率为正；$z=x^2-y^2$ 在原点主曲率异号，因而为负。二者的切平面都只是水平面，一阶近似完全相同，曲率差异来自二阶项。若只知道平均曲率为零，也不能推出高斯曲率为零；极小曲面常有一正一负的主曲率。

Riemann 度量公理库Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。通过一般 Riemann 张量在二维给出内在高斯曲率，切空间公理库切空间Tangent space在一点由曲线速度或函数导子等价定义的局部线性空间。中的形算子行列式则给嵌入公式。测地线公理库测地线Geodesic局部保持平行速度并在短区间上实现长度驻值的曲线。的会聚与曲率相关，Gauss–Bonnet 定理公理库Gauss–Bonnet 定理Gauss–Bonnet theorem闭定向曲面的总高斯曲率等于 2π 乘其欧拉示性数。把总曲率积分化为拓扑不变量。本页只承担二维压缩量，不重复一般曲率张量的定义与对称性。