向量场与 Lie 括号

形式陈述 ​

光滑流形 $M$ 上的向量场是切丛公理库切丛与余切丛Tangent bundle · Cotangent bundle把流形各点的切空间及其对偶分别粘合成秩等于流形维数的光滑向量丛。的光滑截面

$$X:M\to TM,X_p\in T_{p}M.$$

等价地，$X$ 是 $C^{\mathrm{\infty }}(M)$ 上的导子：它对实数线性，并满足

$$X(fg)=fX(g)+gX(f).$$

对两个光滑向量场 $X,Y$，Lie 括号定义为导子的交换子

$$[X,Y]f=X(Yf)-Y(Xf).$$

它仍是向量场，并满足双线性、反对称性 $[X,Y]=-[Y,X]$ 与 Jacobi 恒等式

$$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0.$$

在局部坐标中，若 $X=X^i{\partial }_i$、$Y=Y^j{\partial }_j$，采用求和约定，则

$$[X,Y]=(X^i{\partial }_i{Y}^k-Y^i{\partial }_i{X}^k){\partial }_k.$$

直觉 ​

向量场在每一点指定瞬时速度，但必须随点光滑变化。它作用于函数时，给出函数沿该速度方向的一阶变化率。Lie 括号比较“先沿 $Y$ 变化再沿 $X$ 变化”与相反次序；两者的差是一阶导子，因而又对应一个切向量场。

几何上，若把 $X,Y$ 积分为局部流，沿 $X$ 前进、沿 $Y$ 前进、再依次退回，最终产生的二阶微小位移由 $[X,Y]$ 控制。括号为零意味着两组局部流在适当定义域内对易，而不是说每一点的两支箭头作为普通向量“相乘后相消”。

例子与边界 ​

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，常系数坐标场 ${\partial }_x,{\partial }_y$ 满足 $[{\partial }_x,{\partial }_y]=0$。令

$$X={\partial }_x,Y=x{\partial }_y,$$

则

$$[X,Y]={\partial }_y,$$

因为沿 $x$ 方向移动会改变 $Y$ 的系数。这个例子显示，括号不仅看每点向量值，还读取邻域中的一阶变化。

括号对实常数双线性，却不对光滑函数系数双线性。准确地说，

$$[fX,Y]=f[X,Y]-Y(f)X.$$

因此 Lie 括号不是每个纤维上的双线性运算，不能仅由 $X_p,Y_p$ 决定；它依赖向量场在 $p$ 附近的变化。坐标向量场两两对易，也不表示任意局部标架都对易。低光滑度下二阶组合可能没有所需正则性，本页默认向量场与函数均光滑。

向量场只给局部速度，不自动保证积分曲线对所有时间存在。例如实线上 $X=x^2{\partial }_x$ 的解可在有限时间逃向无穷；完整性是额外的全局性质。

推论与应用 ​

向量场在 Lie 括号下构成无限维 Lie 代数。分布若对括号封闭，Frobenius 定理在适当常秩条件下把它刻画为局部可积分的切空间族；控制理论中，迭代括号揭示通过交替施加方向能够产生的新可达方向。

向量场的积分曲线由常微分方程公理库常微分方程Ordinary differential equation · ODE未知函数及其单一自变量导数组成的方程。局部存在唯一性建立，并由局部流公理库向量场的流Flow of a vector field · Local flow把光滑向量场积分为满足局部群律的一参数局部微分同胚族。统一组织；本页不重复流的最大定义域与完整性理论。微分形式公理库微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。可在向量场上取值，联络公理库联络与协变导数Connection · Covariant derivative在向量丛上按方向微分截面，并以 Leibniz 规则控制函数系数的结构。则允许作协变微分。Lie 括号本身只依赖光滑结构公理库光滑流形Smooth manifold坐标图之间转移映射光滑的拓扑流形。，不需要先选度量或联络。

参考资料

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013, Chs. 8–9, vector fields, Lie brackets, and flows.
• Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983, Chs. 1–3, derivations and brackets.