向量场与 Lie 括号

向量场在每一点指定瞬时速度，但必须随点光滑变化。它作用于函数时，给出函数沿该速度方向的一阶变化率。Lie 括号比较“先沿 $Y$ 变化再沿 $X$ 变化”与相反次序；两者的差是一阶导子，因而又对应一个切向量场。

几何上，若把 $X,Y$ 积分为局部流，沿 $X$ 前进、沿 $Y$ 前进、再依次退回，最终产生的二阶微小位移由 $[X,Y]$ 控制。括号为零意味着两组局部流在适当定义域内对易，而不是说每一点的两支箭头作为普通向量“相乘后相消”。

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，常系数坐标场 ${\partial }_x,{\partial }_y$ 满足 $[{\partial }_x,{\partial }_y]=0$。令

则

直接作用于函数 $f$，有 $X(Yf)={\partial }_x(x{\partial }_{y}f)={\partial }_{y}f+x{\partial }_x{\partial }_{y}f$，而 $Y(Xf)=x{\partial }_y{\partial }_{x}f$。混合二阶项相消，只剩 ${\partial }_{y}f$，所以括号仍是一阶算子。这个例子显示，括号不仅看每点向量值，还读取邻域中的一阶变化。

括号对实常数双线性，却不对光滑函数系数双线性。准确地说，

因此 Lie 括号不是每个纤维上的双线性运算，不能仅由 $X_p,Y_p$ 决定；它依赖向量场在 $p$ 附近的变化。坐标向量场两两对易，也不表示任意局部标架都对易。低光滑度下二阶组合可能没有所需正则性，本页默认向量场与函数均光滑。

向量场只给局部速度，不自动保证积分曲线对所有时间存在。例如实线上 $X=x^2{\partial }_x$ 的解可在有限时间逃向无穷；完整性是额外的全局性质。

光滑向量场在 Lie 括号下构成实Lie 代数理路Lie 代数李代数 · Lie algebra配备双线性交替括号并满足 Jacobi 恒等式的向量空间，以矩阵交换子和 sl₂ 的伴随作用为具体模型。，在正维非空流形上是无限维的；抽象定义中的双线性对应这里对实常数的双线性。分布若对括号封闭，Frobenius 定理在适当常秩条件下把它刻画为局部可积分的切空间族；控制理论中，迭代括号揭示通过交替施加方向能够产生的新可达方向。

向量场的积分曲线由常微分方程理路常微分方程Ordinary differential equation · ODE未知函数及其单一自变量导数组成的方程。局部存在唯一性建立，并由局部流理路向量场的流Flow of a vector field · Local flow把光滑向量场积分为满足局部群律的一参数局部微分同胚族。统一组织；本页不重复流的最大定义域与完整性理论。微分形式理路微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。可在向量场上取值，但一形式与向量场不是同一种对象：前者属于余切丛，后者属于切丛。选定 Riemann 度量 $g$ 后才有 $X\mapsto g(X,-)$ 的对应；例如直线上同一个 $X={\partial }_x$ 在度量 $d{x}^2$ 下对应 $dx$，在度量 $4d{x}^2$ 下对应 $4dx$。联络理路联络与协变导数Connection · Covariant derivative用 Leibniz 规则定义向量丛上的微分，以单位分解构造联络，再用线性方程的平行移动证明光滑可缩底空间上的丛平凡。则允许作协变微分。Lie 括号本身只依赖光滑结构理路光滑流形Smooth manifold坐标图之间转移映射光滑的拓扑流形。，不需要先选度量或联络。