散度定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

先取直接由光滑 Stokes 定理得到的版本：设 $n\ge1$ ， $\Omega\subset\mathbb R^n$ 是有界开集， $\overline\Omega$ 是以 $\Omega$ 为内部的光滑带边界流形。令 $\nu$ 为向外单位法向量，光滑向量场 $F=(F_1,\ldots,F_n)$ 定义在 $\overline\Omega$ 的一个开邻域上。则

\int_\Omega \operatorname{div}F\,dx =\int_{\partial\Omega}F\cdot\nu\,dS,

其中

\operatorname{div}F =\sum_{j=1}^n\frac{\partial F_j}{\partial x_j}.

左侧按 $n$ 维体积积分，右侧按边界的 $(n-1)$ 维面积积分。边界定向固定为向外；若改用向内法向量，右侧必须整体变号。

上述光滑版本是流形 Stokes 定理的 Euclidean 特例；有界闭包的紧致性使光滑形式自动紧支撑。令标准体积形式为

\omega=dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n,

并以 $\iota_F\omega$ 表示向量场 $F$ 与体积形式的内乘，则

d(\iota_F\omega)=(\operatorname{div}F)\omega.

应用 $\int_\Omega d\alpha=\int_{\partial\Omega}\alpha$ ，边界上的拉回恰为 $(F\cdot\nu)dS$ 。

$C^1$ 场与分片边界的常用推广

同一通量等式还适用于在 $\overline\Omega$ 的邻域上为 $C^1$ 的 $F$ 和有界 Lipschitz 区域。这里的区域条件明确要求：每个边界点附近经过刚性坐标变换后，边界是一个 Lipschitz 函数的图， $\Omega$ 位于图的一侧。若边界由有限个 $C^1$ 面片组成、面片的接缝具有零 $(n-1)$ 维面积，并满足这一局部单侧条件，就包含常见多面体和分片光滑区域；通量按各面片的外法向积分。仅说“边界分片 $C^1$ ”而不检查区域在其哪一侧，会把裂缝两侧当作同一张边界，无法确定所需外法向。

这是低正则性的 Gauss–Green 推广，不能只把光滑 Stokes 定理中的假设直接删去；参考 [1, §§1.10–1.12] 讨论单侧边界、 $C^1$ 版本及立方体，[2, Theorem 1.13] 给出有界 Lipschitz 区域与邻域 $C^1$ 延拓的准确陈述。光滑边界上由 $C^1$ 场逼近也能看见正则性放宽：在紧闭包附近将场及其一阶导数一致逼近，体积分与有限面积边界上的通量同时收敛。进一步使用 Sobolev 场时，还要用相应的迹或法向迹解释边界值。

直觉

$\operatorname{div}F(x)$ 测量点 $x$ 附近每单位体积的净产生率。把区域切成许多小控制体后，相邻小块共享面的流出与流入符号相反，内部通量两两抵消，最后只剩整个区域外边界上的净流出。这是定理的几何图像，但把极限做严谨需要边界与向量场正则性。

定理不是说每一点的流量由散度单独决定，而是把局部源汇累积成全局边界账本。无散场可以在区域内部高速循环，只要进入与流出总体抵消，其边界净通量仍为零。

例子与边界

取 $R>0$ 、 $\Omega=B_R(0)\subset\mathbb R^3$ ， $F(x)=x=(x_1,x_2,x_3)$ 。此时 $\operatorname{div}F=3$ ，故

\int_\Omega\operatorname{div}F\,dx =3\cdot\frac{4\pi R^3}{3}=4\pi R^3.

在球面上 $\nu=x/R$ ，所以 $F\cdot\nu=R$ ，右侧为

\int_{\partial B_R}R\,dS =R\cdot4\pi R^2=4\pi R^3.

两侧相等；半径增加时，虽然边界面积只按 $R^2$ 增长，边界处法向速度还多出一个 $R$ 因子。

若 $F(x,y)=(-y,x)$ 且 $\Omega$ 是平面上的单位圆盘，则 $\operatorname{div}F=0$ 。圆周上 $F$ 与切向平行、与外法向垂直，故边界通量也为零；这说明零散度允许旋转，并不要求 $F=0$ 。

边界与失败情形

奇点不能被悄悄放进区域。三维场

F(x)=\frac{x}{\|x\|^3}

在 $x\ne0$ 处散度为零，但任意以原点为中心的球面通量等于 $4\pi$ 。它不满足在 $\overline\Omega$ 邻域内 $C^1$ 的条件；分布意义下散度为 $4\pi\delta_0$ 。若只把经典散度零代入体积分，就会得到错误结论。

有孔区域的边界含多个分支。对环形区域，外边界取向外，内孔边界的“向外”却指向孔内；所有分支都沿区域的外法向定向，不能把每条曲线都按视觉上的逆时针统一处理。

平面中的Bendixson–Dulac判据使用这项法向通量约定排除闭轨：周期边界上的速度相切，加权后仍有零通量，若整个内域的加权散度严格同号，就形成矛盾。有孔域不能随意填孔；但两条嵌套闭轨夹成的环域若全部处在定义域内，仍可对两条边界一起积分，从而证明周期轨唯一。

无界区域需要截断后控制无穷远边界项。即使 $\operatorname{div}F$ 可积，若 $F$ 的衰减不足，通量极限也未必存在。分片光滑或 Lipschitz 边界可以处理棱角，但高度不规则边界要转向有限周长集合等更一般理论。

有限体积法在网格控制体上写出的离散通量平衡受散度定理启发，却不是连续定理本身。数值通量、重构与时间离散会引入一致性和稳定性问题，不能用一句“由散度定理”替代离散误差分析。

推论与应用

对任意常数 $c$ ，取 $F=c e_j$ 可恢复边界法向分量的整体平衡；取 $F=u e_j$ 则得到分部积分公式

\int_\Omega \partial_j u\,dx =\int_{\partial\Omega}u\nu_j\,dS.

更一般地对标量函数 $u$ 和向量场 $F$ 应用 $\operatorname{div}(uF)=\nabla u\cdot F+u\operatorname{div}F$ ，可推导 Green 恒等式及偏微分方程的弱形式。

流体质量守恒、电磁学中的 Gauss 定律、连续介质平衡律与有限体积离散都使用“体内源项等于边界净通量”这一接口。每个应用仍需说明向量场、区域边界与通量的具体正则性。

参考资料

[1] John K. Hunter, Notes on Partial Differential Equations, Chapter 1, University of California, Davis, 2009，§§1.10–1.12，Theorem 1.40 与其后讨论：单侧边界、 $C^1$ 场、分片边界及更弱的 Gauss–Green 版本。
[2] Stefan Neukamm, Notes for the Course Nonlinear Elasticity, TU Dresden, winter term 2019，Definition 1.12、Theorem 1.13，p. 9：有界 Lipschitz 区域、几乎处处外法向和邻域 $C^1$ 场的 Gauss–Green 公式。
Michael Spivak, Calculus on Manifolds, Westview Press, 1965，Ch. 4–5。
John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013，Ch. 16。
Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., AMS, 2010，Appendix C 与 Ch. 5。

形式陈述 ​

C1 场与分片边界的常用推广 ​

边界与失败情形 ​

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$C^1$ 场与分片边界的常用推广

边界与失败情形